8.2 Approximation de problèmes aux limites
271
On peut donc se contenter de satisfaire (8.25) seulement pour les
fonctions de base ϕ j , j = 1, . . . , N. En utilisant le fait que ϕ j s’annule
en dehors des intervalles I j−1 et I j , (8.25) donne
Ij−1∪Ij
u
h (x)ϕ
j (x) dx =
Ij−1∪Ij
f(x)ϕ j (x) dx, j = 1, . . ., N. (8.27)
On peut de plus écrire u h (x) =
N
j=1 u j ϕ j (x) + αϕ 0 (x) + βϕ N+1 (x),
où u j = u h (x j ), ϕ 0 (x) = (x 1 −x)/(x 1 −a) pour a ≤ x ≤ x 1 , et ϕ N+1 (x) =
(x − x N )/(b − x N ) pour x N ≤ x ≤ b, (les fonctions ϕ 0 (x) et ϕ N+1 (x)
étant nulles en dehors de ces intervalles). En insérant ces expressions
dans (8.27), on trouve
u 1
I0∪I1
ϕ
1 (x)ϕ
1 (x) dx + u 2
I1
ϕ
2 (x)ϕ
1 (x) dx
=
I0∪I1
f(x)ϕ 1 (x) dx +
α
x 1 − a
,
u j−1
Ij−1
ϕ
j−1 (x)ϕ
j (x) dx + u j
Ij−1∪Ij
ϕ
j (x)ϕ
j (x) dx
+u j+1
Ij
ϕ
j+1 (x)ϕ
j (x) dx =
Ij−1∪Ij
f(x)ϕ j (x) dx, j = 2, . . ., N − 1,
u N−1
IN−1
ϕ
N−1 (x)ϕ
N (x) dx + u N
IN−1∪IN
ϕ
N (x)ϕ
N (x) dx
=
IN−1∪IN
f(x)ϕ j (x) dx +
β
b − x N
.
Dans le cas particulier où tous les intervalles ont même longueur h,
ϕ
j−1 = −1/h dans I j−1 , ϕ
j = 1/h dans I j−1 et ϕ
j = −1/h dans I j ,
ϕ
j+1 = 1/h dans I j . On obtient donc
2u 1 − u 2
= h
I0∪I1
f(x)ϕ 1 (x) dx +
α
x 1 − a
,
−u j−1 + 2u j − u j+1 = h
Ij−1∪Ij
f(x)ϕ j (x) dx,
j = 2, . . ., N − 1,
−u N−1 + 2u N
= h
IN−1∪IN
f(x)ϕ N (x) dx +
β
b − x N
.