270
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
a
b
x1 x2
xN−1 xN
vh
xj−2 xj−1
xj+1 xj+2
xj
ϕj
1
Figure 8.4. A gauche, une fonction quelconque vh ∈ V
0
h . A droite, la fonction
de base de V
0
h associée au noeud j
L’approximation par éléments finis est alors donnée par
trouver u h ∈ V h tel que u h (a) = α, u h (b) = β et
N
j=0
xj+1
xj
u
h (x)v
h (x) dx =
b
a
f(x)v h (x) dx,
∀v h ∈ V
0
h
(8.25)
où
V h =
v h ∈ C
0 ([a, b]) : v h|Ij ∈ P 1 , j = 0, . . ., N
,
(8.26)
autrement dit, V h est l’espace des fonctions continues sur [a, b] dont la
restriction à chaque sous-intervalle I j est affine. L’espace V
0
h est le sousespace de V h dont les fonctions s’annulent aux extrémités a et b. On
appelle V h l’espace des éléments finis de degré 1.
Les fonctions de V
0
h sont affines par morceaux (voir Figure 8.4, à
gauche). Toute fonction v h de V
0
h admet la représentation
v h (x) =
N
j=1
v h (x j )ϕ j (x),
où pour j = 1, . . ., N,
ϕ j (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x − x j−1
x j − x j−1
si x ∈ I j−1 ,
x − x j+1
x j − x j+1
si x ∈ I j ,
0
sinon.
Ainsi, ϕ j est nulle en tout point x i excepté au point x j où ϕ j (x j ) =
1 (Figure 8.4, à droite). Les fonctions ϕ j , j = 1, . . ., N sont appelées
fonctions de base (ou fonctions de forme). Elles constituent une base de
l’espace vectoriel V
0
h .
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
a
b
x1 x2
xN−1 xN
vh
xj−2 xj−1
xj+1 xj+2
xj
ϕj
1
Figure 8.4. A gauche, une fonction quelconque vh ∈ V
0
h . A droite, la fonction
de base de V
0
h associée au noeud j
L’approximation par éléments finis est alors donnée par
trouver u h ∈ V h tel que u h (a) = α, u h (b) = β et
N
j=0
xj+1
xj
u
h (x)v
h (x) dx =
b
a
f(x)v h (x) dx,
∀v h ∈ V
0
h
(8.25)
où
V h =
v h ∈ C
0 ([a, b]) : v h|Ij ∈ P 1 , j = 0, . . ., N
,
(8.26)
autrement dit, V h est l’espace des fonctions continues sur [a, b] dont la
restriction à chaque sous-intervalle I j est affine. L’espace V
0
h est le sousespace de V h dont les fonctions s’annulent aux extrémités a et b. On
appelle V h l’espace des éléments finis de degré 1.
Les fonctions de V
0
h sont affines par morceaux (voir Figure 8.4, à
gauche). Toute fonction v h de V
0
h admet la représentation
v h (x) =
N
j=1
v h (x j )ϕ j (x),
où pour j = 1, . . ., N,
ϕ j (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x − x j−1
x j − x j−1
si x ∈ I j−1 ,
x − x j+1
x j − x j+1
si x ∈ I j ,
0
sinon.
Ainsi, ϕ j est nulle en tout point x i excepté au point x j où ϕ j (x j ) =
1 (Figure 8.4, à droite). Les fonctions ϕ j , j = 1, . . ., N sont appelées
fonctions de base (ou fonctions de forme). Elles constituent une base de
l’espace vectoriel V
0
h .