8.2 Approximation de problèmes aux limites
269
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figure 8.3. Solution exacte (trait plein) et approximation de la solution du
problème (8.18) avec a = 0, b = 1, α = 0, β = 1, f (x) = 0, μ = 1/50
et η = 1 par différences finies centrées avec h = 1/15 (Pe > 1) (pointillés),
différences finies centrées avec h = 1/32 (Pe < 1) (trait discontinu), différences
finies décentrées amont avec h = 1/15 (trait mixte). Pour plus de clarté, les
solutions sont tracées sur l’intervalle [0.6, 1] plutôt que [0, 1]
8.2.3 Approximation par éléments finis du problème de
Poisson monodimensionnel
La méthode des éléments finis est une alternative à la méthode des différences finies pour approcher les problèmes aux limites. Elle est basée
sur une reformulation du problème différentiel (8.10).
Considérons à nouveau (8.10) et multiplions les deux membres de
l’égalité par une fonction v ∈ C
1 ([a, b]). En intégrant l’égalité sur l’intervalle ]a, b[ et en effectuant une intégration par parties, on obtient
b
a
u
(x)v
(x) dx − [u
(x)v(x)]
b
a =
b
a
f(x)v(x) dx.
Si on suppose de plus que v s’annule aux extrémités x = a et x = b,
le problème (8.10) devient : trouver u ∈ C
1 ([a, b]) tel que u(a) = α,
u(b) = β et
b
a
u
(x)v
(x) dx =
b
a
f(x)v(x) dx
(8.24)
pour tout v ∈ C
1 ([a, b]) tel que v(a) = v(b) = 0. Cette équation s’appelle
formulation faible du problème (8.10) (car u et la fonction test v peuvent
être moins régulières que C
1 ([a, b]), voir p.ex. [Qua09], [QSS07], [QV94] .
)