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8 Approximation numérique des problèmes aux limites
où μ et η sont des constantes strictement positives. Il s’agit du problème
de convection-diffusion. Les termes −μu
(x) et ηu
(x) représentent respectivement la diffusion et la convection de l’inconnue u(x). Le nombre
de Péclet global correspondant au problème (8.18) est défini par
Pe gl =
η(b − a)
2μ
.
(8.19)
Il mesure le rapport entre les phénomènes convectifs et diffusifs. Un
problème tel que Pe gl 1 est appelé problème à convection dominante.
Une discrétisation possible de (8.18) s’écrit
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−μ
u j+1 − 2u j + u j−1
h 2
+ η
u j+1 − u j−1
2h
= f(x j ), j = 1, . . ., N,
u 0 = α, u N+1 = β.
(8.20)
Le terme de convection y est approché par un schéma aux différences
finies centrées (4.9). Comme pour l’équation de Poisson, on peut montrer que l’erreur entre la solution du problème discret (8.20) et celle du
problème continu (8.18) vérifie l’estimation suivante
max
j=0,...,N+1
|u(x j ) − u j | ≤ Ch
2 max
x∈[a,b]
|f
(x)|.
(8.21)
La constante C est proportionnelle à Pe gl et est donc très grande quand
la convection domine la diffusion. Ainsi, quand le pas de discrétisation h
n’est pas assez petit, la solution numérique obtenue avec le schéma (8.20)
peut être très imprécise et exhiber de grandes oscillations, loin de la
solution du problème continu. Pour analyser plus en détail ce phénomène,
on introduit le nombre de Péclet local (appelé aussi nombre de Péclet de
“grille”)
Pe =
ηh
2μ
.
(8.22)
On peut montrer que la solution du problème discret (8.20) ne présente
pas d’oscillations si Pe < 1 (voir [Qua09, Chap. 5]). Ainsi, pour avoir
une bonne solution numérique, on doit choisir un pas de discrétisation
h < 2μ/η. Malheureusement, ceci n’est pas commode quand le rapport
2μ/η est très petit.
Une alternative consiste à choisir une autre approximation du terme
convectif u
: plutôt que le schéma centré (4.9), on peut utiliser le schéma
rétrograde (4.8). Le schéma (8.20) est alors remplacé par
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−μ
u j+1 − 2u j + u j−1
h 2
+ η
u j − u j−1
h
= f(x j ), j = 1, . . . , N,
u 0 = α,
u N+1 = β,
(8.23)
qu’on appelle schéma décentré (ou décentré amont ou upwind en anglais).
On peut montrer que quand on approche (8.18) avec (8.23), la solution
numérique n’oscille pas, comme le confirme la Figure 8.3.
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
où μ et η sont des constantes strictement positives. Il s’agit du problème
de convection-diffusion. Les termes −μu
(x) et ηu
(x) représentent respectivement la diffusion et la convection de l’inconnue u(x). Le nombre
de Péclet global correspondant au problème (8.18) est défini par
Pe gl =
η(b − a)
2μ
.
(8.19)
Il mesure le rapport entre les phénomènes convectifs et diffusifs. Un
problème tel que Pe gl 1 est appelé problème à convection dominante.
Une discrétisation possible de (8.18) s’écrit
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−μ
u j+1 − 2u j + u j−1
h 2
+ η
u j+1 − u j−1
2h
= f(x j ), j = 1, . . ., N,
u 0 = α, u N+1 = β.
(8.20)
Le terme de convection y est approché par un schéma aux différences
finies centrées (4.9). Comme pour l’équation de Poisson, on peut montrer que l’erreur entre la solution du problème discret (8.20) et celle du
problème continu (8.18) vérifie l’estimation suivante
max
j=0,...,N+1
|u(x j ) − u j | ≤ Ch
2 max
x∈[a,b]
|f
(x)|.
(8.21)
La constante C est proportionnelle à Pe gl et est donc très grande quand
la convection domine la diffusion. Ainsi, quand le pas de discrétisation h
n’est pas assez petit, la solution numérique obtenue avec le schéma (8.20)
peut être très imprécise et exhiber de grandes oscillations, loin de la
solution du problème continu. Pour analyser plus en détail ce phénomène,
on introduit le nombre de Péclet local (appelé aussi nombre de Péclet de
“grille”)
Pe =
ηh
2μ
.
(8.22)
On peut montrer que la solution du problème discret (8.20) ne présente
pas d’oscillations si Pe < 1 (voir [Qua09, Chap. 5]). Ainsi, pour avoir
une bonne solution numérique, on doit choisir un pas de discrétisation
h < 2μ/η. Malheureusement, ceci n’est pas commode quand le rapport
2μ/η est très petit.
Une alternative consiste à choisir une autre approximation du terme
convectif u
: plutôt que le schéma centré (4.9), on peut utiliser le schéma
rétrograde (4.8). Le schéma (8.20) est alors remplacé par
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
−μ
u j+1 − 2u j + u j−1
h 2
+ η
u j − u j−1
h
= f(x j ), j = 1, . . . , N,
u 0 = α,
u N+1 = β,
(8.23)
qu’on appelle schéma décentré (ou décentré amont ou upwind en anglais).
On peut montrer que quand on approche (8.18) avec (8.23), la solution
numérique n’oscille pas, comme le confirme la Figure 8.3.