8.2 Approximation de problèmes aux limites
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Figure 8.7. Structure de la matrice associée au schéma à cinq points en
ordonnant les inconnues selon l’ordre lexicographique
En effet, en partitionnant v en N y vecteurs v k de taille N x , on obtient
v
T Av =
Ny
k=1
v
T
k Tv k −
2
h 2
y
Ny−1
k=1
v
T
k v k+1 .
(8.34)
On peut écrire T = 2/h
2
y I + 1/h
2
x K où K est la matrice (symétrique
définie positive) donnée par (8.15) et I est l’identité. Ainsi, en utilisant
la relation 2a(a − b) = a
2
− b
2 + (a − b)
2 et après quelques calculs, (8.34)
devient
v
T Av =
1
h 2
x
Ny−1
k=1
v
T
k Kv k
+
1
h 2
y
⎛
⎝ v
T
1 v 1 + v
T
Ny v Ny +
Ny−1
k=1
(v k − v k+1 )
T (v k − v k+1 )
⎞
⎠ ,
qui est un réel strictement positif, puisque K est définie positive et au
moins un vecteur v k est non nul.
On vient de montrer que A est inversible, on peut donc conclure que
le système obtenu par différences finies admet une unique solution u h .
La matrice A est creuse ; elle sera donc stockée dans le format sparse
de MATLAB (voir Section 5.6). Sur la Figure 8.7 (obtenue avec la commande spy(A)), on a représenté la structure de la matrice correspondant
à une grille uniforme de 11 × 11 noeuds, après avoir éliminé les lignes et
les colonnes associées aux noeuds de ∂Δ h . On peut remarquer que les
seuls éléments non nuls se situent sur cinq diagonales.
La matrice A étant symétrique définie positive, le système associé
peut être résolu efficacement par une méthode directe ou une méthode
itérative, comme on l’a vu au Chapitre 5. Soulignons enfin que, comme
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Figure 8.7. Structure de la matrice associée au schéma à cinq points en
ordonnant les inconnues selon l’ordre lexicographique
En effet, en partitionnant v en N y vecteurs v k de taille N x , on obtient
v
T Av =
Ny
k=1
v
T
k Tv k −
2
h 2
y
Ny−1
k=1
v
T
k v k+1 .
(8.34)
On peut écrire T = 2/h
2
y I + 1/h
2
x K où K est la matrice (symétrique
définie positive) donnée par (8.15) et I est l’identité. Ainsi, en utilisant
la relation 2a(a − b) = a
2
− b
2 + (a − b)
2 et après quelques calculs, (8.34)
devient
v
T Av =
1
h 2
x
Ny−1
k=1
v
T
k Kv k
+
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h 2
y
⎛
⎝ v
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1 v 1 + v
T
Ny v Ny +
Ny−1
k=1
(v k − v k+1 )
T (v k − v k+1 )
⎞
⎠ ,
qui est un réel strictement positif, puisque K est définie positive et au
moins un vecteur v k est non nul.
On vient de montrer que A est inversible, on peut donc conclure que
le système obtenu par différences finies admet une unique solution u h .
La matrice A est creuse ; elle sera donc stockée dans le format sparse
de MATLAB (voir Section 5.6). Sur la Figure 8.7 (obtenue avec la commande spy(A)), on a représenté la structure de la matrice correspondant
à une grille uniforme de 11 × 11 noeuds, après avoir éliminé les lignes et
les colonnes associées aux noeuds de ∂Δ h . On peut remarquer que les
seuls éléments non nuls se situent sur cinq diagonales.
La matrice A étant symétrique définie positive, le système associé
peut être résolu efficacement par une méthode directe ou une méthode
itérative, comme on l’a vu au Chapitre 5. Soulignons enfin que, comme