8.1 Quelques problèmes types
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L dx
R dx
C dx
1/(G dx)
x
x + dx
Figure 8.1. Un élément de câble de longueur dx
Problème 8.2 (Thermodynamique) Soit Ω ⊂ R
d une région occupée par un milieu continu. Notons J(x, t) le flux de chaleur et T (x, t) la
température du milieu. La loi de Fourier dit que le flux de chaleur est
proportionnel au gradient de température T , c’est-à-dire
J(x, t) = −k∇T (x, t),
où k est une constante positive correspondant au coefficient de conductivité thermique. En traduisant la conservation de l’énergie, c’est-à-dire
le fait que la variation d’énergie d’une région est égale au flux de chaleur
entrant (ou sortant) dans cette région, on obtient l’équation de la chaleur
ρc
∂T
∂t
= kΔT,
(8.7)
où ρ est la masse volumique du milieu continu et c sa capacité calorifique
spécifique (par unité de masse). Si on introduit de plus une source de
chaleur f(x, t) (par exemple un chauffage électrique), (8.7) devient
ρc
∂T
∂t
= kΔT + f.
(8.8)
Le coefficient μ = k/(ρc) est le coefficient de diffusion thermique. Pour
la solution de ce problème, voir l’Exemple 8.4.
Problème 8.3 (Télécommunications) On considère une ligne télégraphique de résistance R et d’inductance L par unité de longueur. En
supposant que le courant peut rejoindre la terre à travers une capacitance C et une conductance G par unité de longueur (voir Figure 8.1),
l’équation de la tension v est
∂
2 v
∂t 2 − c
∂
2 v
∂x 2 = −α
∂v
∂t
− βv,
(8.9)
où c = 1/(LC), α = R/L + G/C et β = RG/(LC). L’équation (8.9)
est un exemple d’équation hyperbolique du second ordre et est connue
sous le nom d’équation des télégraphistes (voir [Str07]). La solution de
ce problème est donnée dans l’Exemple 8.8.