262
8 Approximation numérique des problèmes aux limites
2. Equation de la chaleur
∂u(x, t)
∂t
− μ
∂
2 u(x, t)
∂x 2
= f(x, t), x ∈]a, b[, t > 0,
(8.4)
ou (en plusieurs dimensions)
∂u(x, t)
∂t
− μΔu(x, t) = f(x, t), x ∈ Ω, t > 0,
(8.5)
où μ > 0 est un coefficient donné, correspondant à la diffusion thermique, et f est une fonction donnée.
3. Equation des ondes
∂
2 u(x, t)
∂t 2
− c
∂
2 u(x, t)
∂x 2
= 0, x ∈]a, b[, t > 0,
ou (en plusieurs dimensions)
∂
2 u(x, t)
∂t 2
− cΔu(x, t) = 0, x ∈ Ω, t > 0,
où c est une constante positive donnée.
On renvoie le lecteur à [Eva98], [Sal08], pour une présentation plus complète d’équations aux dérivées partielles plus générales et à [Qua09],
[EEHJ96] ou [Lan03], pour leur approximation numérique.
8.1 Quelques problèmes types
Problème 8.1 (Hydrogéologie) Dans certains cas, l’étude d’écoulements dans le sol conduit à une équation de la forme (8.2). Considérons
une région Ω occupée par un milieu poreux (comme un sol ou une argile).
D’après la loi de Darcy, la vitesse de filtration de l’eau q = (q 1 , q 2 , q 3 )
T
est proportionnelle au gradient du niveau d’eau φ dans le milieu. Plus
précisément
q = −K∇φ,
(8.6)
où K est la constante de conductivité hydraulique du milieu poreux et
∇φ le gradient spatial de φ. En supposant constante la densité du fluide ;
la conservation de la masse s’écrit divq = 0, où divq est la divergence
du vecteur q, définie par
divq =
3
i=1
∂q i
∂x i
.
D’après (8.6), on voit donc que φ satisfait le problème de Poisson
Δφ = 0 (voir Exercice 8.8).