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Approximation numérique des problèmes
aux limites
Les problèmes aux limites sont des problèmes différentiels posés sur un
intervalle ]a, b[ de la droite réelle, ou sur un ouvert à plusieurs dimensions
Ω ⊂ R
d (d = 2, 3), pour lesquels les valeurs de l’inconnue (ou de ses
dérivées) sont fixées aux extrémités a et b, ou sur la bord ∂Ω dans le cas
multidimensionnel.
Dans le cas multidimensionnel, l’équation différentielle met en jeu les
dérivées partielles de la solution par rapport aux coordonnées d’espaces.
Les équations qui dépendent aussi du temps (noté t), comme l’équation
de la chaleur ou l’équation des ondes, sont appelées problèmes aux limites
et aux valeurs initiales. Pour ce type d’équation, on doit aussi fournir la
valeur de la solution à t = 0.
Voici quelques exemples de problème aux limites.
1. Equation de Poisson
−u
(x) = f(x), x ∈]a, b[,
(8.1)
ou (en plusieurs dimensions)
−Δu(x) = f(x), x = (x 1 , . . . , x d )
T
∈ Ω,
(8.2)
où f est une fonction donnée et Δ est l’opérateur de Laplace ou
laplacien
Δu =
d
i=1
∂
2 u
∂x 2
i
.
Le symbole ∂ · /∂x i désigne la dérivée partielle par rapport à la
variable x i , c’est-à-dire, pour tout x
0
∂u
∂x i
(x
0 ) = lim
h→0
u(x
0 + he i ) − u(x
0 )
h
,
(8.3)
où e i est le i-ème vecteur de la base canonique de R
d .
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010