7.9 Systèmes d’équations différentielles
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poser λ = − max t ρ(A(t)), où ρ(A(t)) est le rayon spectral de A(t). Ce
λ est un bon candidat pour remplacer celui qui apparaissait dans les
conditions de stabilité (comme p.ex. (7.30)) obtenues pour les problèmes
de Cauchy scalaires.
Remarque 7.6 Les programmes MATLAB (ode23, ode45, ...) évoqués plus
haut peuvent être utilisés pour résoudre les systèmes d’équations différentielles
ordinaires. La syntaxe est odeXX(@f,[t0 tf],y0), où y0 est le vecteur des
conditions initiales, f est une fonction donnée par l’utilisateur et odeXX est
une des méthodes proposées par MATLAB.
Considérons à présent le cas d’une équation différentielle ordinaire
d’ordre m
y
(m) (t) = f(t, y, y
, . . . , y
(m−1) )
(7.61)
pour t ∈]t 0 , T ], dont les solutions (quand elles existent) forment une
famille de fonctions définies à m constantes près. Ces dernières peuvent
être fixées en imposant m conditions initiales
y(t 0 ) = y 0 , y
(t 0 ) = y 1 , . . . , y
(m−1) (t 0 ) = y m−1 .
En posant
w 1 (t) = y(t), w 2 (t) = y
(t), . . . , w m (t) = y
(m−1) (t),
on peut transformer l’équation (7.61) en un système du premier ordre
de m équations différentielles
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
w
1 = w 2 ,
w
2 = w 3 ,
. . .
w
m−1 = w m ,
w
m = f(t, w 1 , . . . , w m ),
avec les conditions initiales
w 1 (t 0 ) = y 0 , w 2 (t 0 ) = y 1 , . . . , w m (t 0 ) = y m−1 .
Ainsi, on peut toujours approcher la solution d’une équation différentielle
d’ordre m > 1 en discrétisant le système équivalent de m équations du
premier ordre.
Exemple 7.8 (Circuits électriques) On considère le circuit du Problème
7.4. On suppose que L(i1) = L est constante et que R1 = R2 = R. Dans ce
cas, on peut calculer v en résolvant le système de deux équations différentielles
suivant