244
7 Equations différentielles ordinaires
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v
(t) = w(t),
w
(t) = −
1
LC
L
R
+ RC
w(t) −
2
LC
v(t) +
e
LC
,
(7.62)
avec les conditions initiales v(0) = 0, w(0) = 0. Ce système a été obtenu à
partir de l’équation différentielle du second ordre
LC
d
2 v
dt 2 +
L
R2
+ R1C
dv
dt
+
R1
R2
+ 1
v = e.
(7.63)
On pose L = 0.1 Henry, C = 10
−3 Farad, R = 10 Ohm et e = 5 Volt, où
Henry, Farad, Ohm et Volt sont respectivement les unités d’inductance, de
capacitance, de résistance et de tension. On applique alors la méthode d’Euler
explicite avec h = 0.001 secondes dans l’intervalle de temps [0, 0.1], à l’aide du
Programme 7.1 :
[t , u ]= feuler ( @fsys ,[0 ,0.1] ,[0 0] ,100);
où fsys est définie dans le fichier fsys.m :
function fn = fsys (t ,y )
L =0.1; C =1.e -03; R =10; e =5; LC = L* C;
[n , m ]= size ( y ); fn= zeros (n , m );
fn (1)= y (2);
fn (2)= -(L /R +R *C )/( LC )* y (2) -2/( LC )*y (1)+ e /( LC );
return
On indique sur la Figure 7.16 les valeurs approchées de v(t) et w(t). Comme
prévu, v(t) tend vers e/2 = 2.5 Volt pour t → ∞. Dans ce cas A =
[∂F/∂y](t, y) = [0, 1; −20000, −200] et ne dépend donc pas du temps. Ses
valeurs propres sont λ1,2 = −100 ± 100i, donc la condition de stabilité absolue
est h < −2Re(λi)/|λi|
2 = 0.01.
Parfois, on approche directement des équations d’ordre élevé sans
passer par le système équivalent d’ordre un. Considérons par exemple le
cas d’un problème de Cauchy du second ordre
y
(t) = f(t, y(t), y
(t)),
t∈]t 0 , T ],
y(t 0 ) = α 0 , y
(t 0 ) = β 0 .
(7.64)
On va construire deux suites u n et v n pour approcher respectivement
y(t n ) et y
(t n ). Une manière simple de procéder consiste par exemple à
définir u n+1 par
u n+1 − 2u n + u n−1
h 2
= f(t n , u n , v n ),
1 ≤ n ≤ N h ,
(7.65)
avec u 0 = α 0 et v 0 = β 0 . Comme (y n+1 − 2y n + y n−1 )/h
2 est une approximation d’ordre 2 de y
(t n ), il est naturel de considérer également
une approximation d’ordre 2 de y
(t n ) (voir (4.9))
v n =
u n+1 − u n−1
2h
, avec v 0 = β 0 .
(7.66)
7 Equations différentielles ordinaires
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v
(t) = w(t),
w
(t) = −
1
LC
L
R
+ RC
w(t) −
2
LC
v(t) +
e
LC
,
(7.62)
avec les conditions initiales v(0) = 0, w(0) = 0. Ce système a été obtenu à
partir de l’équation différentielle du second ordre
LC
d
2 v
dt 2 +
L
R2
+ R1C
dv
dt
+
R1
R2
+ 1
v = e.
(7.63)
On pose L = 0.1 Henry, C = 10
−3 Farad, R = 10 Ohm et e = 5 Volt, où
Henry, Farad, Ohm et Volt sont respectivement les unités d’inductance, de
capacitance, de résistance et de tension. On applique alors la méthode d’Euler
explicite avec h = 0.001 secondes dans l’intervalle de temps [0, 0.1], à l’aide du
Programme 7.1 :
[t , u ]= feuler ( @fsys ,[0 ,0.1] ,[0 0] ,100);
où fsys est définie dans le fichier fsys.m :
function fn = fsys (t ,y )
L =0.1; C =1.e -03; R =10; e =5; LC = L* C;
[n , m ]= size ( y ); fn= zeros (n , m );
fn (1)= y (2);
fn (2)= -(L /R +R *C )/( LC )* y (2) -2/( LC )*y (1)+ e /( LC );
return
On indique sur la Figure 7.16 les valeurs approchées de v(t) et w(t). Comme
prévu, v(t) tend vers e/2 = 2.5 Volt pour t → ∞. Dans ce cas A =
[∂F/∂y](t, y) = [0, 1; −20000, −200] et ne dépend donc pas du temps. Ses
valeurs propres sont λ1,2 = −100 ± 100i, donc la condition de stabilité absolue
est h < −2Re(λi)/|λi|
2 = 0.01.
Parfois, on approche directement des équations d’ordre élevé sans
passer par le système équivalent d’ordre un. Considérons par exemple le
cas d’un problème de Cauchy du second ordre
y
(t) = f(t, y(t), y
(t)),
t∈]t 0 , T ],
y(t 0 ) = α 0 , y
(t 0 ) = β 0 .
(7.64)
On va construire deux suites u n et v n pour approcher respectivement
y(t n ) et y
(t n ). Une manière simple de procéder consiste par exemple à
définir u n+1 par
u n+1 − 2u n + u n−1
h 2
= f(t n , u n , v n ),
1 ≤ n ≤ N h ,
(7.65)
avec u 0 = α 0 et v 0 = β 0 . Comme (y n+1 − 2y n + y n−1 )/h
2 est une approximation d’ordre 2 de y
(t n ), il est naturel de considérer également
une approximation d’ordre 2 de y
(t n ) (voir (4.9))
v n =
u n+1 − u n−1
2h
, avec v 0 = β 0 .
(7.66)