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7 Equations différentielles ordinaires
0
2
4
6
8
10
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
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2.5
3
Figure 7.15. Solutions numériques du système (7.3). A gauche, on représente
y1 et y2 sur l’intervalle de temps ]0, 10[, le trait plein correspond à y1, le
trait discontinu y2. On considère deux données initiales : (2, 2) (trait épais) et
(1.2, 1.2) (trait fin). A droite, on trace les trajectoires correspondantes dans le
plan de phase
On exécute alors le Programme 7.1 avec l’instruction suivante :
[t , u ]= feuler ( ’f ’ ,[0 ,10] ,[2 2] ,20000);
ou, de manière équivalente,
[t , u ]= feuler ( @f ,[0 ,10] ,[2 2] ,20000);
qui permet de résoudre le système de Lotka-Volterra sur l’intervalle de temps
[0, 10] avec un pas de temps h = 5 · 10
−4 .
Le graphique de la Figure 7.15, à gauche, représente l’évolution en temps
des deux composantes de la solution. Remarquer qu’elles sont périodiques.
Le graphique de la Figure 7.15, à droite, montre des trajectoires dans le plan
appelé plan de phase, c’est-à-dire, le plan cartésien dont les axes de coordonnées
sont y1 et y2. La trajectoire partant de (2, 2) reste dans une région bornée du
plan (y1, y2). En partant du point (1.2, 1.2), la trajectoire demeure dans une
région encore plus petite autour du point (1, 1). Ceci peut s’expliquer ainsi :
notre système différentiel admet 2 points d’équilibre, c’est-à-dire deux points
pour lesquels y
1 = 0 et y
2 = 0. L’un de ces points d’équilibre est justement
(1, 1), l’autre est (0, 0). On les trouve en résolvant le système non linéaire
⎧
⎨
⎩
y
1 = y1 − y1y2 = 0,
y
2 = −y2 + y2y1 = 0.
Si la donnée initiale coïncide avec un de ces points, la solution reste constante
au cours du temps. On vérifie de plus que (0, 0) est un équilibre instable, alors
que (1, 1) est stable. Donc toutes les trajectoires issues d’un point voisin de
(1, 1) restent dans une région bornée du plan de phase.
Quand on utilise une méthode explicite, le pas de discrétisation h
est soumis à une condition de stabilité similaire à celle rencontrée dans
la Section 7.6. Quand les parties réelles des valeurs propres λ k de la
jacobienne A(t) = [∂F/∂y](t, y) de F sont toutes négatives, on peut
7 Equations différentielles ordinaires
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Figure 7.15. Solutions numériques du système (7.3). A gauche, on représente
y1 et y2 sur l’intervalle de temps ]0, 10[, le trait plein correspond à y1, le
trait discontinu y2. On considère deux données initiales : (2, 2) (trait épais) et
(1.2, 1.2) (trait fin). A droite, on trace les trajectoires correspondantes dans le
plan de phase
On exécute alors le Programme 7.1 avec l’instruction suivante :
[t , u ]= feuler ( ’f ’ ,[0 ,10] ,[2 2] ,20000);
ou, de manière équivalente,
[t , u ]= feuler ( @f ,[0 ,10] ,[2 2] ,20000);
qui permet de résoudre le système de Lotka-Volterra sur l’intervalle de temps
[0, 10] avec un pas de temps h = 5 · 10
−4 .
Le graphique de la Figure 7.15, à gauche, représente l’évolution en temps
des deux composantes de la solution. Remarquer qu’elles sont périodiques.
Le graphique de la Figure 7.15, à droite, montre des trajectoires dans le plan
appelé plan de phase, c’est-à-dire, le plan cartésien dont les axes de coordonnées
sont y1 et y2. La trajectoire partant de (2, 2) reste dans une région bornée du
plan (y1, y2). En partant du point (1.2, 1.2), la trajectoire demeure dans une
région encore plus petite autour du point (1, 1). Ceci peut s’expliquer ainsi :
notre système différentiel admet 2 points d’équilibre, c’est-à-dire deux points
pour lesquels y
1 = 0 et y
2 = 0. L’un de ces points d’équilibre est justement
(1, 1), l’autre est (0, 0). On les trouve en résolvant le système non linéaire
⎧
⎨
⎩
y
1 = y1 − y1y2 = 0,
y
2 = −y2 + y2y1 = 0.
Si la donnée initiale coïncide avec un de ces points, la solution reste constante
au cours du temps. On vérifie de plus que (0, 0) est un équilibre instable, alors
que (1, 1) est stable. Donc toutes les trajectoires issues d’un point voisin de
(1, 1) restent dans une région bornée du plan de phase.
Quand on utilise une méthode explicite, le pas de discrétisation h
est soumis à une condition de stabilité similaire à celle rencontrée dans
la Section 7.6. Quand les parties réelles des valeurs propres λ k de la
jacobienne A(t) = [∂F/∂y](t, y) de F sont toutes négatives, on peut