238
7 Equations différentielles ordinaires
de Fehlberg. Les solveurs d’équations différentielles ordinaires et d’équations algébro-différentielles d’Octave (lsode, daspk, dassl, non disponibles dans MATLAB) utilisent aussi des méthodes à plusieurs pas, en
particulier lsode qui peut utiliser les formules d’Adams ou BDF, alors
que dassl et daspk utilisent les formules BDF.
7.8 Méthodes prédicteur-correcteur
On a vu dans la Section 7.3 que si la fonction f du problème de Cauchy
est non linéaire, les méthodes implicites nécessitent la résolution à chaque
pas de temps d’un problème non linéaire pour déterminer u n+1 . Cette
résolution peut être effectuée à l’aide d’une des méthodes introduites au
Chapitre 2, ou encore en utilisant la fonction fsolve comme on l’a fait
dans les Programmes 7.2 et 7.3.
On peut aussi utiliser une méthode de point fixe à chaque pas de
temps. Par exemple, pour la méthode de Crank-Nicolson (7.17), pour
k = 0, 1, . . ., on calcule jusqu’à convergence
u
(k+1)
n+1 = u n +
h
2
f n + f(t n+1 , u
(k)
n+1 )
.
On peut montrer que si la donnée initiale u
(0)
n+1 est bien choisie, une
seule itération suffit pour obtenir une solution numérique u
(1)
n+1 dont la
précision est du même ordre que la solution u n+1 de la méthode implicite
originale. Plus précisément, si la méthode implicite originale est d’ordre
p ≥ 2, la donnée initiale u
(0)
n+1 doit être construite avec une méthode
explicite d’ordre (au moins) p − 1.
Par exemple, si on utilise la méthode (du premier ordre) d’Euler
explicite pour initialiser la méthode de Crank-Nicolson, on obtient la
méthode de Heun, appelée aussi méthode d’Euler améliorée et vue plus
haut sous le nom de RK2
u
∗
n+1 = u n + hf n ,
u n+1 = u n +
h
2
f n + f(t n+1 , u
∗
n+1 )
(7.60)
La phase explicite est appelée prédicteur, tandis que la phase “implicite” est appelée correcteur. Un autre exemple combine (AB3) (7.55)
comme prédicteur avec (AM4) (7.56) comme correcteur. Ces méthodes
sont appelées méthodes prédicteur-correcteur. Elles héritent de l’ordre de
précision du correcteur. Cependant, étant explicites, elles sont soumises
à une condition de stabilité qui est typiquement celle du prédicteur (voir
par exemple les régions de stabilité absolue de la Figure 7.14). Elles ne
sont donc pas adaptées à la résolution des problèmes de Cauchy sur des
intervalles non bornés.
7 Equations différentielles ordinaires
de Fehlberg. Les solveurs d’équations différentielles ordinaires et d’équations algébro-différentielles d’Octave (lsode, daspk, dassl, non disponibles dans MATLAB) utilisent aussi des méthodes à plusieurs pas, en
particulier lsode qui peut utiliser les formules d’Adams ou BDF, alors
que dassl et daspk utilisent les formules BDF.
7.8 Méthodes prédicteur-correcteur
On a vu dans la Section 7.3 que si la fonction f du problème de Cauchy
est non linéaire, les méthodes implicites nécessitent la résolution à chaque
pas de temps d’un problème non linéaire pour déterminer u n+1 . Cette
résolution peut être effectuée à l’aide d’une des méthodes introduites au
Chapitre 2, ou encore en utilisant la fonction fsolve comme on l’a fait
dans les Programmes 7.2 et 7.3.
On peut aussi utiliser une méthode de point fixe à chaque pas de
temps. Par exemple, pour la méthode de Crank-Nicolson (7.17), pour
k = 0, 1, . . ., on calcule jusqu’à convergence
u
(k+1)
n+1 = u n +
h
2
f n + f(t n+1 , u
(k)
n+1 )
.
On peut montrer que si la donnée initiale u
(0)
n+1 est bien choisie, une
seule itération suffit pour obtenir une solution numérique u
(1)
n+1 dont la
précision est du même ordre que la solution u n+1 de la méthode implicite
originale. Plus précisément, si la méthode implicite originale est d’ordre
p ≥ 2, la donnée initiale u
(0)
n+1 doit être construite avec une méthode
explicite d’ordre (au moins) p − 1.
Par exemple, si on utilise la méthode (du premier ordre) d’Euler
explicite pour initialiser la méthode de Crank-Nicolson, on obtient la
méthode de Heun, appelée aussi méthode d’Euler améliorée et vue plus
haut sous le nom de RK2
u
∗
n+1 = u n + hf n ,
u n+1 = u n +
h
2
f n + f(t n+1 , u
∗
n+1 )
(7.60)
La phase explicite est appelée prédicteur, tandis que la phase “implicite” est appelée correcteur. Un autre exemple combine (AB3) (7.55)
comme prédicteur avec (AM4) (7.56) comme correcteur. Ces méthodes
sont appelées méthodes prédicteur-correcteur. Elles héritent de l’ordre de
précision du correcteur. Cependant, étant explicites, elles sont soumises
à une condition de stabilité qui est typiquement celle du prédicteur (voir
par exemple les régions de stabilité absolue de la Figure 7.14). Elles ne
sont donc pas adaptées à la résolution des problèmes de Cauchy sur des
intervalles non bornés.