7.7 Méthodes d’ordre élevé
237
−3
−2
−1
0
1
2
3
−3
−2
−1
0
1
2
3
Re(h λ)
Im(h
λ)
RK1
RK2
RK3
RK4
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−9
−6
−3
0
3
6
9
Re(h λ)
Im(hλ)
BDF2
BDF3
BDF4
Figure 7.13. Régions de stabilité absolue de diverses méthodes RK explicites
(à gauche) et BDF (à droite). Dans ce dernier cas les régions ne sont pas
bornées et s’étendent au-delà des courbes fermées
D’après un résultat connu sous le nom de première barrière de Dahlquist , l’ordre maximum q d’une méthode à p+1 pas satisfaisant la condition de racine vaut q = p + 1 pour les méthodes explicites et, pour les
méthodes implicites, q = p + 2 si p + 1 est impair, et q = p + 3 si p + 1
est pair.
Remarque 7.5 (Méthodes cycliques composites) On peut surmonter les
limites imposées par les barrières de Dahlquist en combinant plusieurs méthodes multi-pas. Par exemple, les deux méthodes suivantes
un+1 = −
8
11
un +
19
11
un−1 +
h
33
(30fn+1 + 57fn + 24fn−1 − fn−2),
un+1 =
449
240
un +
19
30
un−1 −
361
240
un−2
+
h
720
(251fn+1 + 456fn − 1347fn−1 − 350fn−2),
sont d’ordre cinq, mais sont instables. Cependant, en les combinant (la première si n est pair, la deuxième si n est impair), elles définissent une méthode
A-stable à trois pas d’ordre cinq.
Des méthodes multi-pas sont implémentées dans divers programmes
MATLAB, par exemple dans ode15s.
ode15s
Octave 7.1 ode23 et ode45 sont aussi disponibles dans Octave-forge.
Les arguments optionnels sont cependant différents de ceux de MATLAB. Noter que ode45 dans Octave-forge offre deux stratégies : celle
par défaut, qui est basée sur la méthode de Dormand et Prince, donne
généralement des résultats plus précis que l’autre, basée sur la méthode
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−2
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Re(h λ)
Im(h
λ)
RK1
RK2
RK3
RK4
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Re(h λ)
Im(hλ)
BDF2
BDF3
BDF4
Figure 7.13. Régions de stabilité absolue de diverses méthodes RK explicites
(à gauche) et BDF (à droite). Dans ce dernier cas les régions ne sont pas
bornées et s’étendent au-delà des courbes fermées
D’après un résultat connu sous le nom de première barrière de Dahlquist , l’ordre maximum q d’une méthode à p+1 pas satisfaisant la condition de racine vaut q = p + 1 pour les méthodes explicites et, pour les
méthodes implicites, q = p + 2 si p + 1 est impair, et q = p + 3 si p + 1
est pair.
Remarque 7.5 (Méthodes cycliques composites) On peut surmonter les
limites imposées par les barrières de Dahlquist en combinant plusieurs méthodes multi-pas. Par exemple, les deux méthodes suivantes
un+1 = −
8
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un +
19
11
un−1 +
h
33
(30fn+1 + 57fn + 24fn−1 − fn−2),
un+1 =
449
240
un +
19
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un−1 −
361
240
un−2
+
h
720
(251fn+1 + 456fn − 1347fn−1 − 350fn−2),
sont d’ordre cinq, mais sont instables. Cependant, en les combinant (la première si n est pair, la deuxième si n est impair), elles définissent une méthode
A-stable à trois pas d’ordre cinq.
Des méthodes multi-pas sont implémentées dans divers programmes
MATLAB, par exemple dans ode15s.
ode15s
Octave 7.1 ode23 et ode45 sont aussi disponibles dans Octave-forge.
Les arguments optionnels sont cependant différents de ceux de MATLAB. Noter que ode45 dans Octave-forge offre deux stratégies : celle
par défaut, qui est basée sur la méthode de Dormand et Prince, donne
généralement des résultats plus précis que l’autre, basée sur la méthode