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7 Equations différentielles ordinaires
−2
−1.5
−1
−0.5
0
−1
−0.5
0
0.5
1
Re(h λ)
Im(h
λ)
AB1
AB2
AB3
AB4
−6
−4.5
−3
−1.5
0
−3
−1.5
0
1.5
3
Re(h λ)
Im(hλ)
AM3
AM4
AM5
Figure 7.12. Régions de stabilité absolue de diverses méthodes d’AdamsBashforth (à gauche) et Adams-Moulton (à droite)
absolument stable pour tout λ ∈ C avec une partie réelle négative (i.e.
A-stable). Si λ ∈ R
− , BDF3 est inconditionnellement absolument stable,
cependant ce n’est plus vrai pour tout λ ∈ C avec partie réelle négative ;
en d’autres termes, BDF3 n’est pas A-stable (voir, Figure 7.13). Plus
généralement, d’après un résultat appelé seconde barrière de Dahlquist,
il n’existe pas de méthode multi-pas A-stable et d’ordre strictement supérieur à deux.
On a représenté sur la Figure 7.12 les régions de stabilité absolue de
diverses méthodes d’Adams-Bashforth et d’Adams-Moulton. Remarquer
que leur taille diminue quand l’ordre augmente. A droite de la Figure
7.13, on a tracé les régions (non bornées) de stabilité absolue de quelques
méthodes BDF : elles recouvrent une surface du plan complexe qui diminue quand l’ordre augmente, i.e. A BDF (k+1) ⊂ A BDF (k) , contrairement aux régions de stabilité absolue des méthodes de Runge-Kutta (à
gauche de la figure) dont la surface augmente avec l’ordre, c’est-à-dire
A RK(k) ⊂ A RK(k+1) , k ≥ 1.
Remarque 7.4 (Comment calculer des régions de stabilité absolue)
Il est possible de calculer la frontière ∂A de la région de stabilité absolue A
d’une méthode multi-pas à l’aide d’une astuce simple. La frontière est constituée de nombres complexes hλ vérifiant
hλ =
r
p+1 −
p
j=0
ajr
p−j
p
j=−1
bj r
p−j
,
(7.59)
où r est un nombre complexe de module un. Par conséquent, pour obtenir avec
MATLAB une représentation approchée de ∂A, il suffit d’évaluer le second
membre de (7.59) pour diverses valeurs de r sur le cercle unité (en posant par
exemple r = exp(i*pi*(0:2000)/1000), où i est le nombre imaginaire). Les
graphiques des Figures 7.12 et 7.13 ont été obtenus de cette manière.
7 Equations différentielles ordinaires
−2
−1.5
−1
−0.5
0
−1
−0.5
0
0.5
1
Re(h λ)
Im(h
λ)
AB1
AB2
AB3
AB4
−6
−4.5
−3
−1.5
0
−3
−1.5
0
1.5
3
Re(h λ)
Im(hλ)
AM3
AM4
AM5
Figure 7.12. Régions de stabilité absolue de diverses méthodes d’AdamsBashforth (à gauche) et Adams-Moulton (à droite)
absolument stable pour tout λ ∈ C avec une partie réelle négative (i.e.
A-stable). Si λ ∈ R
− , BDF3 est inconditionnellement absolument stable,
cependant ce n’est plus vrai pour tout λ ∈ C avec partie réelle négative ;
en d’autres termes, BDF3 n’est pas A-stable (voir, Figure 7.13). Plus
généralement, d’après un résultat appelé seconde barrière de Dahlquist,
il n’existe pas de méthode multi-pas A-stable et d’ordre strictement supérieur à deux.
On a représenté sur la Figure 7.12 les régions de stabilité absolue de
diverses méthodes d’Adams-Bashforth et d’Adams-Moulton. Remarquer
que leur taille diminue quand l’ordre augmente. A droite de la Figure
7.13, on a tracé les régions (non bornées) de stabilité absolue de quelques
méthodes BDF : elles recouvrent une surface du plan complexe qui diminue quand l’ordre augmente, i.e. A BDF (k+1) ⊂ A BDF (k) , contrairement aux régions de stabilité absolue des méthodes de Runge-Kutta (à
gauche de la figure) dont la surface augmente avec l’ordre, c’est-à-dire
A RK(k) ⊂ A RK(k+1) , k ≥ 1.
Remarque 7.4 (Comment calculer des régions de stabilité absolue)
Il est possible de calculer la frontière ∂A de la région de stabilité absolue A
d’une méthode multi-pas à l’aide d’une astuce simple. La frontière est constituée de nombres complexes hλ vérifiant
hλ =
r
p+1 −
p
j=0
ajr
p−j
p
j=−1
bj r
p−j
,
(7.59)
où r est un nombre complexe de module un. Par conséquent, pour obtenir avec
MATLAB une représentation approchée de ∂A, il suffit d’évaluer le second
membre de (7.59) pour diverses valeurs de r sur le cercle unité (en posant par
exemple r = exp(i*pi*(0:2000)/1000), où i est le nombre imaginaire). Les
graphiques des Figures 7.12 et 7.13 ont été obtenus de cette manière.