7.7 Méthodes d’ordre élevé
235
u n+1 . Elles peuvent être établies en partant de la formule (7.18) puis
en approchant l’intégrale par une formule de quadrature appliquée à
une interpolée de f sur un ensemble de noeuds. La formule d’AdamsBashforth (AB3) est un exemple remarquable de méthode à trois pas
(p = 2), du troisième ordre (explicite)
u n+1 = u n +
h
12
(23f n − 16f n−1 + 5f n−2 )
(7.55)
Elle est obtenue en remplaçant f dans (7.18) par son polynôme d’interpolation de degré deux aux noeuds t n−2 , t n−1 , t n . Un autre exemple
important est la formule implicite à trois pas et du quatrième ordre
d’Adams-Moulton (AM4)
u n+1 = u n +
h
24
(9f n+1 + 19f n − 5f n−1 + f n−2 )
(7.56)
qu’on obtient en remplaçant f dans (7.18) par son polynôme d’interpolation de degré trois aux noeuds t n−2 , t n−1 , t n , t n+1 .
On peut construire une autre famille de méthodes multi-pas en écrivant l’équation différentielle au temps t n+1 et en remplaçant y
(t n+1 )
par un taux d’accroissement d’ordre élevé. Voici par exemple la méthode
implicite à deux pas du second ordre dite de différentiation rétrograde
(BDF2 de l’anglais backward difference formula)
u n+1 =
4
3
u n −
1
3
u n−1 +
2h
3
f n+1
(7.57)
ou la méthode BDF3, implicite à trois pas du troisième ordre,
u n+1 =
18
11
u n −
9
11
u n−1 +
2
11
u n−2 +
6h
11
f n+1
(7.58)
On peut mettre toutes ces méthodes sous la forme générale (7.23). On
vérifie facilement qu’elles satisfont les relations (7.27), et qu’elles sont
donc consistantes. Elles sont de plus zéro-stables. En effet, pour (7.55)
et (7.56), le premier polynôme caractéristique est π(r) = r
3
− r
2 et
ses racines sont r 0 = 1, r 1 = r 2 = 0 ; celui de (7.57) est π(r) = r
2
−
(4/3)r + 1/3 et ses racines sont r 0 = 1 et r 1 = 1/3. Celui de (7.58)
est π(r) = r
3
− 18/11r
2 + 9/11r − 2/11 dont les racines sont r 0 = 1,
r 1 = 0.3182 + 0.2839i, r 2 = 0.3182 − 0.2839i. Dans tous les cas, la
condition de racine (7.25) est vérifiée.
Quand on l’applique au problème modèle (7.28), pour tout λ ∈ R
− ,
AB3 est absolument stable si h < 0.545/|λ|, tandis que AM4 est absolument stable si h < 3/|λ|. La méthode BDF2 est inconditionnellement
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u n+1 . Elles peuvent être établies en partant de la formule (7.18) puis
en approchant l’intégrale par une formule de quadrature appliquée à
une interpolée de f sur un ensemble de noeuds. La formule d’AdamsBashforth (AB3) est un exemple remarquable de méthode à trois pas
(p = 2), du troisième ordre (explicite)
u n+1 = u n +
h
12
(23f n − 16f n−1 + 5f n−2 )
(7.55)
Elle est obtenue en remplaçant f dans (7.18) par son polynôme d’interpolation de degré deux aux noeuds t n−2 , t n−1 , t n . Un autre exemple
important est la formule implicite à trois pas et du quatrième ordre
d’Adams-Moulton (AM4)
u n+1 = u n +
h
24
(9f n+1 + 19f n − 5f n−1 + f n−2 )
(7.56)
qu’on obtient en remplaçant f dans (7.18) par son polynôme d’interpolation de degré trois aux noeuds t n−2 , t n−1 , t n , t n+1 .
On peut construire une autre famille de méthodes multi-pas en écrivant l’équation différentielle au temps t n+1 et en remplaçant y
(t n+1 )
par un taux d’accroissement d’ordre élevé. Voici par exemple la méthode
implicite à deux pas du second ordre dite de différentiation rétrograde
(BDF2 de l’anglais backward difference formula)
u n+1 =
4
3
u n −
1
3
u n−1 +
2h
3
f n+1
(7.57)
ou la méthode BDF3, implicite à trois pas du troisième ordre,
u n+1 =
18
11
u n −
9
11
u n−1 +
2
11
u n−2 +
6h
11
f n+1
(7.58)
On peut mettre toutes ces méthodes sous la forme générale (7.23). On
vérifie facilement qu’elles satisfont les relations (7.27), et qu’elles sont
donc consistantes. Elles sont de plus zéro-stables. En effet, pour (7.55)
et (7.56), le premier polynôme caractéristique est π(r) = r
3
− r
2 et
ses racines sont r 0 = 1, r 1 = r 2 = 0 ; celui de (7.57) est π(r) = r
2
−
(4/3)r + 1/3 et ses racines sont r 0 = 1 et r 1 = 1/3. Celui de (7.58)
est π(r) = r
3
− 18/11r
2 + 9/11r − 2/11 dont les racines sont r 0 = 1,
r 1 = 0.3182 + 0.2839i, r 2 = 0.3182 − 0.2839i. Dans tous les cas, la
condition de racine (7.25) est vérifiée.
Quand on l’applique au problème modèle (7.28), pour tout λ ∈ R
− ,
AB3 est absolument stable si h < 0.545/|λ|, tandis que AM4 est absolument stable si h < 3/|λ|. La méthode BDF2 est inconditionnellement