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7 Equations différentielles ordinaires
f. On peut construire d’autres méthodes de Runge-Kutta, explicites ou
implicites, d’ordre arbitrairement élevé. Par exemple, voici le tableau de
Butcher d’une méthode RK implicite d’ordre 4 à 2 étapes
3−
√
3
6
1
4
3−2
√
3
12
3+
√
3
6
3+2
√
3
12
1
4
1
2
T
1
2
.
La surface des régions de stabilité absolue A des méthodes RK, y compris explicites, peuvent augmenter avec l’ordre : voir par exemple sur la
Figure 7.13, les régions A correspondant à des méthodes RK explicites :
RK1, i.e. la méthode d’Euler explicite ; RK2 la méthode dite d’Euler
améliorée qui sera définie plus tard (voir (7.60)) ; RK3, la méthode correspondant au tableau de Butcher suivant
0
1
2
1
2
1 −1 2
1
6
T 2
3
1
6
(7.54)
et RK4, la méthode (7.53) introduite ci-dessus.
Tout comme la méthode d’Euler, les méthodes RK étant à un pas
se prêtent bien aux techniques d’adaptation. On peut construire leur
estimateur d’erreur de deux manières :
- en utilisant un schéma RK du même ordre, mais avec deux pas de
discrétisation différents (comme pour la méthode d’Euler) ;
- en utilisant deux schémas RK d’ordre différent, mais avec le même
nombre s d’étapes.
MATLAB utilise la deuxième approche dans les fonctions ode23 et
ode45 ; voir plus loin.
Les méthodes RK servent de base aux programmes MATLAB dont
les noms commencent par ode et sont suivis de nombres et de lettres.
ode
Par exemple, ode45 est basé sur un couple de méthodes explicites de
ode45
Runge-Kutta (dit couple de Dormand-Prince) d’ordre 4 et 5, respectivement. ode23 implémente un autre couple de méthodes de Runge-Kutta
ode23
explicites (le couple de Bogacki et Shampine). Dans les deux cas, le pas
d’intégration est variable afin de garantir que l’erreur reste inférieure
à une certaine tolérance (par défaut, la tolérance sur l’erreur relative
RelTol est égale à 10
−3 ). Le programme ode23tb correspond à une forode23tb
mule implicite de Runge-Kutta dont la première étape est la formule
du trapèze, et la seconde étape est la formule BDF2 de différentiation
rétrograde d’ordre deux (voir (7.57)).
Les méthodes multi-pas (voir (7.23)) offrent un ordre de précision
élevé en faisant appel aux quantités u n , u n−1 , . . . , u n−p pour déterminer
7 Equations différentielles ordinaires
f. On peut construire d’autres méthodes de Runge-Kutta, explicites ou
implicites, d’ordre arbitrairement élevé. Par exemple, voici le tableau de
Butcher d’une méthode RK implicite d’ordre 4 à 2 étapes
3−
√
3
6
1
4
3−2
√
3
12
3+
√
3
6
3+2
√
3
12
1
4
1
2
T
1
2
.
La surface des régions de stabilité absolue A des méthodes RK, y compris explicites, peuvent augmenter avec l’ordre : voir par exemple sur la
Figure 7.13, les régions A correspondant à des méthodes RK explicites :
RK1, i.e. la méthode d’Euler explicite ; RK2 la méthode dite d’Euler
améliorée qui sera définie plus tard (voir (7.60)) ; RK3, la méthode correspondant au tableau de Butcher suivant
0
1
2
1
2
1 −1 2
1
6
T 2
3
1
6
(7.54)
et RK4, la méthode (7.53) introduite ci-dessus.
Tout comme la méthode d’Euler, les méthodes RK étant à un pas
se prêtent bien aux techniques d’adaptation. On peut construire leur
estimateur d’erreur de deux manières :
- en utilisant un schéma RK du même ordre, mais avec deux pas de
discrétisation différents (comme pour la méthode d’Euler) ;
- en utilisant deux schémas RK d’ordre différent, mais avec le même
nombre s d’étapes.
MATLAB utilise la deuxième approche dans les fonctions ode23 et
ode45 ; voir plus loin.
Les méthodes RK servent de base aux programmes MATLAB dont
les noms commencent par ode et sont suivis de nombres et de lettres.
ode
Par exemple, ode45 est basé sur un couple de méthodes explicites de
ode45
Runge-Kutta (dit couple de Dormand-Prince) d’ordre 4 et 5, respectivement. ode23 implémente un autre couple de méthodes de Runge-Kutta
ode23
explicites (le couple de Bogacki et Shampine). Dans les deux cas, le pas
d’intégration est variable afin de garantir que l’erreur reste inférieure
à une certaine tolérance (par défaut, la tolérance sur l’erreur relative
RelTol est égale à 10
−3 ). Le programme ode23tb correspond à une forode23tb
mule implicite de Runge-Kutta dont la première étape est la formule
du trapèze, et la seconde étape est la formule BDF2 de différentiation
rétrograde d’ordre deux (voir (7.57)).
Les méthodes multi-pas (voir (7.23)) offrent un ordre de précision
élevé en faisant appel aux quantités u n , u n−1 , . . . , u n−p pour déterminer