7.7 Méthodes d’ordre élevé
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forme générale a été donnée en (7.23)), qui permettent d’atteindre des
ordres de précision plus élevés.
Les méthodes de Runge-Kutta (RK en abrégé) sont encore des méthodes à un pas ; cependant, elles nécessitent plusieurs évaluations de
la fonction f(t, y) sur chaque intervalle [t n , t n+1 ]. Sous sa forme la plus
générale, une méthode RK s’écrit
u n+1 = u n + h
s
i=1
b i K i ,
n≥ 0
(7.52)
où
K i = f(t n + c i h, u n + h
s
j=1
a ij K j ), i = 1, 2, . . ., s
et s désigne le nombre d’étapes de la méthode. Les coefficients {a ij }, {c i }
et {b i } caractérisent complètement une méthode RK et sont usuellement
rassemblés dans un tableau dit de Butcher
c A
b
T T ,
où A = (a ij ) ∈ R
s×s , b = (b 1 , . . . , b s )
T
∈ R
s et c = (c 1 , . . ., c s )
T
∈ R
s .
Si les coefficients a ij de A sont nuls pour j ≥ i, avec i = 1, 2, . . ., s, alors
les K i peuvent se calculer explicitement en fonction des i − 1 coefficients
K 1 , . . . , K i−1 déjà déterminés. Dans ce cas, la méthode RK est explicite.
Autrement, elle est implicite et il est nécessaire de résoudre un système
non linéaire de taille s pour calculer les coefficients K i .
Une des plus célèbres méthodes de Runge-Kutta s’écrit
u n+1 = u n +
h
6
(K 1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 )
(7.53)
où
K 1 = f n ,
K 2 = f(t n +
h
2
, u n +
h
2
K 1 ),
K 3 = f(t n +
h
2 , u n +
h
2 K 2 ),
K 4 = f(t n+1 , u n + hK 3 ),
0
1
2
1
2
1
2 0
1
2
1 0 0 1
1
6
T 1
3
1
3
1
6
.
On peut établir cette formule à partir de (7.18) en utilisant la méthode d’intégration de Simpson (4.23) pour évaluer l’intégrale entre t n
et t n+1 . Elle est explicite, d’ordre quatre par rapport à h ; à chaque
pas de temps, elle nécessite quatre nouvelles évaluations de la fonction