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7 Equations différentielles ordinaires
|u
h/2
− u
h
|
3
< <,
alors on poursuit avec le pas de discrétisation h, et on prend u
h/2 comme
solution numérique au temps t + h. Autrement, h est divisé par deux et
on répète le procédé jusqu’à convergence. Cependant, pour éviter des
pas de discrétisation trop petits, on se donne généralement une valeur
minimale h min .
Enfin, il arrive qu’on remplace l’estimateur d’erreur |u
h/2
− u
h
|/3
par l’erreur relative |u
h/2
− u
h
|/(3u max ), où u max est le maximum de la
solution numérique jusqu’à t.
Résumons-nous
1. Une méthode absolument stable fournit une solution u n du problème
modèle (7.28) qui tend vers zéro quand t n tend vers l’infini ;
2. une méthode est dite A-stable si elle est absolument stable pour tout
pas de temps h et tout λ ∈ C avec Re(λ) < 0 (autrement elle est dite
conditionnellement stable, et h doit être plus petit qu’une constante
dépendant de λ) ;
3. quand une méthode absolument stable est appliquée à un problème
modèle généralisé (comme (7.33)), l’erreur de perturbation (qui est
la valeur absolue de la différence entre la solution perturbée et la solution non perturbée) est bornée uniformément (par rapport à h). En
bref, on peut dire que les méthodes absolument stables permettent
de contrôler les perturbations ;
4. on peut utiliser l’analyse de stabilité absolue pour le problème modèle linéaire pour trouver des conditions de stabilité sur le pas de
temps pour un problème de Cauchy non linéaire (7.5) avec une fonction f satisfaisant (7.48). Dans ce cas, la condition de stabilité impose de choisir le pas de discrétisation en fonction de ∂f/∂y. Plus
précisément, le nouvel intervalle d’intégration [t n , t n+1 ] est choisi de
manière à ce que h n = t n+1 − t n satisfasse (7.51) pour un certain
α ∈]0, 1[, ou (7.15) si le pas h est constant.
Voir les Exercices 7.6–7.13.
7.7 Méthodes d’ordre élevé
Toutes les méthodes présentées jusqu’à présent étaient des exemples élémentaires de méthodes à un pas. Il existe des schémas plus sophistiqués,
comme les méthodes de Runge-Kutta et les méthodes multi-pas (dont la
7 Equations différentielles ordinaires
|u
h/2
− u
h
|
3
< <,
alors on poursuit avec le pas de discrétisation h, et on prend u
h/2 comme
solution numérique au temps t + h. Autrement, h est divisé par deux et
on répète le procédé jusqu’à convergence. Cependant, pour éviter des
pas de discrétisation trop petits, on se donne généralement une valeur
minimale h min .
Enfin, il arrive qu’on remplace l’estimateur d’erreur |u
h/2
− u
h
|/3
par l’erreur relative |u
h/2
− u
h
|/(3u max ), où u max est le maximum de la
solution numérique jusqu’à t.
Résumons-nous
1. Une méthode absolument stable fournit une solution u n du problème
modèle (7.28) qui tend vers zéro quand t n tend vers l’infini ;
2. une méthode est dite A-stable si elle est absolument stable pour tout
pas de temps h et tout λ ∈ C avec Re(λ) < 0 (autrement elle est dite
conditionnellement stable, et h doit être plus petit qu’une constante
dépendant de λ) ;
3. quand une méthode absolument stable est appliquée à un problème
modèle généralisé (comme (7.33)), l’erreur de perturbation (qui est
la valeur absolue de la différence entre la solution perturbée et la solution non perturbée) est bornée uniformément (par rapport à h). En
bref, on peut dire que les méthodes absolument stables permettent
de contrôler les perturbations ;
4. on peut utiliser l’analyse de stabilité absolue pour le problème modèle linéaire pour trouver des conditions de stabilité sur le pas de
temps pour un problème de Cauchy non linéaire (7.5) avec une fonction f satisfaisant (7.48). Dans ce cas, la condition de stabilité impose de choisir le pas de discrétisation en fonction de ∂f/∂y. Plus
précisément, le nouvel intervalle d’intégration [t n , t n+1 ] est choisi de
manière à ce que h n = t n+1 − t n satisfasse (7.51) pour un certain
α ∈]0, 1[, ou (7.15) si le pas h est constant.
Voir les Exercices 7.6–7.13.
7.7 Méthodes d’ordre élevé
Toutes les méthodes présentées jusqu’à présent étaient des exemples élémentaires de méthodes à un pas. Il existe des schémas plus sophistiqués,
comme les méthodes de Runge-Kutta et les méthodes multi-pas (dont la