7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
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le pas de temps. On doit remplacer dans l’analyse précédente chaque
terme 1 + hλ n par (1 − hλ n )
−1 pour la méthode d’Euler implicite et par
(1 + hλ n /2)/(1 − hλ n /2) pour la méthode de Crank-Nicolson.
La méthode d’Euler explicite est bien adaptée à un calcul dynamique
du pas de discrétisation h tenant compte des variations de l’inconnue sur
l’intervalle d’intégration. Ce procédé, appelé adaptation du pas de discrétisation, est efficace mais nécessite d’avoir un bon estimateur d’erreur
locale. En général, il s’agit d’un estimateur d’erreur a posteriori, car les
estimateurs d’erreur a priori (comme (7.13) ou (7.14)) sont trop compliqués en pratique. Comme nous allons le voir, l’estimateur d’erreur peut
être construit à l’aide de deux pas de discrétisation (typiquement h et
h/2).
Supposons qu’on ait calculé la solution numérique jusqu’au temps
t. Le nouveau pas h est choisi afin que l’erreur de troncature locale au
temps t + h, en partant de y(t) = u, soit inférieure à une tolérance
donnée. Choisissons un certain h et notons u
h (resp. u
h/2 ) la solution
obtenue après un pas d’Euler explicite de longueur h (resp. deux pas de
longueur h/2), en partant de la solution connue u au temps t, i.e.
u
h
= u + hf(t, u),
˜
u
h/2 = u +
h
2
f(t, u),
u
h/2 = ˜
u
h/2 +
h
2
f
t +
h
2
, ˜
u
h/2
.
En effectuant un développement de Taylor d’ordre 1 de y(t + h) en t et
en posant y(t) = u, on voit qu’il existe ξ ∈]t, t + h[ tel que
y(t + h) − u
h =
h
2
2
y
(ξ)
et, de même, il existe η ∈]t, t + h[ tel que
y(t + h) − u
h/2 =
(h/2)
2
2
y
(η) + o(h
2 ).
En soustrayant cette dernière relation à la précédente et en supposant
que y
varie peu sur ]t, t + h[, on a
u
h/2
− u
h =
h
2
2
y
(ξ) −
1
4
y
(η)
+ o(h
2 ) =
3
4
h
2
2
y
( ˆ
ξ) + o(h
2 )
pour un certain ˆ
ξ ∈]t, t + h[, donc
|y(t + h) − u
h/2
| |
1
3
|u
h/2
− u
h
|,
i.e. la valeur |u
h/2
− u
h
|/3 fournit une estimation a posteriori de l’erreur
|y(t + h) − u
h/2
|. Si est une tolérance donnée et
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le pas de temps. On doit remplacer dans l’analyse précédente chaque
terme 1 + hλ n par (1 − hλ n )
−1 pour la méthode d’Euler implicite et par
(1 + hλ n /2)/(1 − hλ n /2) pour la méthode de Crank-Nicolson.
La méthode d’Euler explicite est bien adaptée à un calcul dynamique
du pas de discrétisation h tenant compte des variations de l’inconnue sur
l’intervalle d’intégration. Ce procédé, appelé adaptation du pas de discrétisation, est efficace mais nécessite d’avoir un bon estimateur d’erreur
locale. En général, il s’agit d’un estimateur d’erreur a posteriori, car les
estimateurs d’erreur a priori (comme (7.13) ou (7.14)) sont trop compliqués en pratique. Comme nous allons le voir, l’estimateur d’erreur peut
être construit à l’aide de deux pas de discrétisation (typiquement h et
h/2).
Supposons qu’on ait calculé la solution numérique jusqu’au temps
t. Le nouveau pas h est choisi afin que l’erreur de troncature locale au
temps t + h, en partant de y(t) = u, soit inférieure à une tolérance
donnée. Choisissons un certain h et notons u
h (resp. u
h/2 ) la solution
obtenue après un pas d’Euler explicite de longueur h (resp. deux pas de
longueur h/2), en partant de la solution connue u au temps t, i.e.
u
h
= u + hf(t, u),
˜
u
h/2 = u +
h
2
f(t, u),
u
h/2 = ˜
u
h/2 +
h
2
f
t +
h
2
, ˜
u
h/2
.
En effectuant un développement de Taylor d’ordre 1 de y(t + h) en t et
en posant y(t) = u, on voit qu’il existe ξ ∈]t, t + h[ tel que
y(t + h) − u
h =
h
2
2
y
(ξ)
et, de même, il existe η ∈]t, t + h[ tel que
y(t + h) − u
h/2 =
(h/2)
2
2
y
(η) + o(h
2 ).
En soustrayant cette dernière relation à la précédente et en supposant
que y
varie peu sur ]t, t + h[, on a
u
h/2
− u
h =
h
2
2
y
(ξ) −
1
4
y
(η)
+ o(h
2 ) =
3
4
h
2
2
y
( ˆ
ξ) + o(h
2 )
pour un certain ˆ
ξ ∈]t, t + h[, donc
|y(t + h) − u
h/2
| |
1
3
|u
h/2
− u
h
|,
i.e. la valeur |u
h/2
− u
h
|/3 fournit une estimation a posteriori de l’erreur
|y(t + h) − u
h/2
|. Si est une tolérance donnée et