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7 Equations différentielles ordinaires
0
50
100
150
200
250
300
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
ρ
0
50
100
150
200
250
300
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
ρ(1/λmin + 1/λmax)
Figure 7.8. Erreur de perturbation quand ρ(t) = 0.1 sin(t) et λ(t) = −2 −
sin(t) pour t ∈]0, nh[ avec n = 500 : le pas de discrétisation est h = h
∗ − 0.1 =
0.4 (à gauche) et h = h
∗ + 0.1 = 0.6 (à droite). Dans ce cas λmin = 1, on a
donc l’estimation (7.42) quand h ≤ h
∗ , et (7.47) quand h > h
∗
z n − u n ≤
ρ
λ min
h
h ∗ ≤
ρ
λ min
h 0
h ∗ = ρ
1
λ min
+
1
λ max
.
(7.47)
Remarquer que le membre de droite de (7.47) est aussi un majorant
de la valeur absolue de z n − u n .
Sur la Figure 7.8 sont représentées les erreurs de perturbation obtenues pour le problème (7.33), où r(t) ≡ 0, λ k = λ(t k ) = −2 − sin(t k ),
ρ k = ρ(t k ) = 0.1 sin(t k ) avec h≤h
∗ (à gauche) et avec h
∗ (à droite).
iii. Considérons à présent le problème de Cauchy (7.5) avec une fonction générale f(·, ·). Celui-ci peut être relié au problème modèle généralisé (7.33) dans les cas où
−λ max <
∂f
∂y
(t, y) < −λ min , ∀t ≥ 0, ∀y ∈] − ∞, ∞[,
(7.48)
pour des λ min , λ max ∈]0, +∞[. En effet, pour tout t dans un intervalle
]t n , t n+1 [, en soustrayant (7.6) à (7.22), on obtient l’équation suivante
pour l’erreur de perturbation
z n − u n = (z n−1 − u n−1 ) + h{f(t n−1 , z n−1 ) − f(t n−1 , u n−1 )} + hρ n .
En appliquant le théorème de la moyenne, on a
f(t n−1 , z n−1 ) − f(t n−1 , u n−1 ) = λ n−1 (z n−1 − u n−1 ),
où λ n−1 = f y (t n−1 , ξ n−1 ) (f y est une abréviation pour ∂f/∂y), ξ n−1 est
un point de l’intervalle d’extrémités u n−1 et z n−1 . Ainsi
z n − u n = (1 + hλ n−1 )(z n−1 − u n−1 ) + hρ n .