7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
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|1 + hλ k | ≤ a(h) = max{|1 − hλ min |, |1 − hλ max |}.
Comme 0 <
λmax−λmin
λmax+λmin
≤ a(h) < 1, on peut encore utiliser l’identité
(7.37) dans (7.36) pour obtenir
|z n − u n | ≤ ρ
[a(h)]
n + h
1 − [a(h)]
n
1 − a(h)
,
(7.40)
où ρ = sup k |ρ k |. Pour commencer, prenons h ≤ h
∗ = 2/(λ min + λ max ),
de sorte que a(h) = (1 − hλ min ). On a
|z n − u n | ≤
ρ
λ min
[1 − [a(h)]
n (1 − λ min )] ,
(7.41)
i.e.,
sup
n
|z n − u n | ≤
ρ
λ min
sup
n
[1 − [a(h)]
n (1 − λ min )].
Si λ min = 1, on a
sup
n
|z n − u n | ≤ ρ.
(7.42)
Si λ min < 1, la suite b n = [1 − [a(h)]
n (1 − λ min )] croît ne façon monotone avec n, de sorte que sup n b n = lim n→∞ b n = 1 et
sup
n
|z n − u n | ≤
ρ
λ min
.
(7.43)
Enfin, si λ min > 1, la suite b n décroît de façon monotone, sup n b n =
b 0 = λ min , et on a également (7.42).
Prenons à présent h
∗ < h < h 0 (λ), on a
1 + hλ k = 1 − h|λ k | ≤ 1 − h
∗
|λ k | ≤ 1 − h
∗ λ min .
(7.44)
Avec (7.44), en utilisant l’identité (7.37) dans (7.36), et en posant a =
1 − h
∗ λ min , on trouve
z n − u n ≤ ρ
a
n + h
1 − a
n
1 − a
=
ρ
λ min
a
n
λ min −
h
h ∗
+
h
h ∗
.
(7.45)
Il faut alors distinguer deux cas.
Si λ min ≥
h
h ∗ , alors
h
h ∗ ≤ a
n
λ min −
h
h ∗
+
h
h ∗ < λ min et on trouve
z n − u n ≤ ρ
∀n ≥ 0.
(7.46)
Autrement, si λ min <
h
h ∗ , alors λ min ≤ a
n
λ min −
h
h ∗
+
h
h ∗ <
h
h ∗ et