226
7 Equations différentielles ordinaires
n−1
k=0
a
k =
1 − a
n
1 − a
,
si |a| | = 1,
(7.37)
on obtient
z n − u n = ρ
(1 + hλ)
n
1 +
1
λ
−
1
λ
.
(7.38)
Il s’en suit que l’erreur de perturbation vérifie (voir Exercice 7.10)
|z n − u n | ≤ ϕ(λ)|ρ|,
(7.39)
avec ϕ(λ) = 1 si λ ≤ −1, tandis que ϕ(λ) = |1 + 2/λ| si −1<λ < 0.
On peut donc en conclure que l’erreur de perturbation est bornée par |ρ|
fois une constante qui dépend de λ mais pas de n et h. De plus, d’après
(7.38),
lim
n→∞
|z n − u n | =
|ρ|
|λ|
.
La Figure 7.7 correspond aux cas où r(t) ≡ 0, ρ = 0.1, λ = −2 (à gauche)
et λ = −0.5 (à droite). Dans les deux cas, on a pris h = h 0 (λ) − 0.01. Remarquer que l’estimation (7.38) est vérifiée exactement. Naturellement,
l’erreur de perturbation explose quand n augmente si la condition de
stabilité h < h 0 (λ) n’est pas satisfaite.
Remarque 7.3 Si la perturbation ne concerne que la donnée initiale, i.e. si
ρk = 0, k = 1, 2, . . ., on déduit de (7.36) que limn→∞ |zn − un| = 0 sous la
condition de stabilité h < h0(λ).
ii. Dans le cas général où λ et r ne sont pas constants, supposons que
h vérifie la condition h < h 0 (λ), où cette fois h 0 (λ) = 2/λ max . Alors,
0
20
40
60
80
100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
20
40
60
80
100
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
Figure 7.7. Erreur de perturbation quand r(t) ≡ 0, ρ = 0.1 : λ = −2 (à
gauche) et λ = −0.5 (à droite). Dans les deux cas h = h0(λ) − 0.01
7 Equations différentielles ordinaires
n−1
k=0
a
k =
1 − a
n
1 − a
,
si |a| | = 1,
(7.37)
on obtient
z n − u n = ρ
(1 + hλ)
n
1 +
1
λ
−
1
λ
.
(7.38)
Il s’en suit que l’erreur de perturbation vérifie (voir Exercice 7.10)
|z n − u n | ≤ ϕ(λ)|ρ|,
(7.39)
avec ϕ(λ) = 1 si λ ≤ −1, tandis que ϕ(λ) = |1 + 2/λ| si −1<λ < 0.
On peut donc en conclure que l’erreur de perturbation est bornée par |ρ|
fois une constante qui dépend de λ mais pas de n et h. De plus, d’après
(7.38),
lim
n→∞
|z n − u n | =
|ρ|
|λ|
.
La Figure 7.7 correspond aux cas où r(t) ≡ 0, ρ = 0.1, λ = −2 (à gauche)
et λ = −0.5 (à droite). Dans les deux cas, on a pris h = h 0 (λ) − 0.01. Remarquer que l’estimation (7.38) est vérifiée exactement. Naturellement,
l’erreur de perturbation explose quand n augmente si la condition de
stabilité h < h 0 (λ) n’est pas satisfaite.
Remarque 7.3 Si la perturbation ne concerne que la donnée initiale, i.e. si
ρk = 0, k = 1, 2, . . ., on déduit de (7.36) que limn→∞ |zn − un| = 0 sous la
condition de stabilité h < h0(λ).
ii. Dans le cas général où λ et r ne sont pas constants, supposons que
h vérifie la condition h < h 0 (λ), où cette fois h 0 (λ) = 2/λ max . Alors,
0
20
40
60
80
100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0
20
40
60
80
100
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
Figure 7.7. Erreur de perturbation quand r(t) ≡ 0, ρ = 0.1 : λ = −2 (à
gauche) et λ = −0.5 (à droite). Dans les deux cas h = h0(λ) − 0.01