7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
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dont la limite est −r/λ quand t tend vers l’infini. Ainsi, en général, il
n’y a aucune raison d’exiger qu’une méthode numérique soit absolument
stable, i.e. vérifie (7.31), quand on l’applique au problème (7.33). Cependant, on va montrer que quand une méthode absolument stable sur le
problème modèle (7.28) est utilisée pour le problème modèle généralisé
(7.33), on peut contrôler les perturbations quand t tend vers l’infini (avec
éventuellement une contrainte sur le pas de temps h).
Pour simplifier, on limite l’analyse à la méthode d’Euler explicite.
Appliquée à (7.33), elle s’écrit
u n+1 = u n + h(λ n u n + r n ), n ≥ 0,
u 0 = 1
et sa solution est (voir Exercice 7.9)
u n = u 0
n−1
k=0
(1 + hλ k ) + h
n−1
k=0
r k
n−1
j=k+1
(1 + hλ j ),
(7.34)
où λ k = λ(t k ) et r k = r(t k ), avec la convention que le dernier produit est
égal à 1 si k + 1 > n − 1. Considérons la méthode “perturbée” suivante
z n+1 = z n + h(λ n z n + r n + ρ n+1 ), n ≥ 0,
z 0 = u 0 + ρ 0 ,
(7.35)
où ρ 0 , ρ 1 , . . . sont des perturbations données à chaque pas de temps. Les
paramètres ρ 0 et ρ n+1 modélisent de manière simple le fait que ni u 0
ni r n ne peuvent être évalués de manière exacte. Si on tenait compte
de toutes les erreurs d’arrondi qui apparaissent à chaque pas de temps,
notre modèle perturbé serait bien plus complexe et difficile à analyser.
La solution de (7.35) s’obtient à partir de (7.34) en remplaçant u k par
z k et r k par r k + ρ k+1 , pour k = 0, . . . , n − 1. Ainsi
z n − u n = ρ 0
n−1
k=0
(1 + hλ k ) + h
n−1
k=0
ρ k+1
n−1
j=k+1
(1 + hλ j ).
(7.36)
La quantité |z n − u n | est appelée erreur de perturbation à l’itération n.
Soulignons que cette quantité ne dépend pas de la fonction r(t).
i. Pour les besoins de l’exposé, commençons par considérer le cas
particulier où λ k et ρ k sont deux constantes respectivement égales à λ
et ρ. Supposons que h < h 0 (λ) = 2/|λ| (c’est la condition sur h qui
assure la stabilité absolue de la méthode d’Euler explicite appliquée au
problème modèle (7.28)). Alors, en utilisant la propriété suivante des
suites géométriques
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dont la limite est −r/λ quand t tend vers l’infini. Ainsi, en général, il
n’y a aucune raison d’exiger qu’une méthode numérique soit absolument
stable, i.e. vérifie (7.31), quand on l’applique au problème (7.33). Cependant, on va montrer que quand une méthode absolument stable sur le
problème modèle (7.28) est utilisée pour le problème modèle généralisé
(7.33), on peut contrôler les perturbations quand t tend vers l’infini (avec
éventuellement une contrainte sur le pas de temps h).
Pour simplifier, on limite l’analyse à la méthode d’Euler explicite.
Appliquée à (7.33), elle s’écrit
u n+1 = u n + h(λ n u n + r n ), n ≥ 0,
u 0 = 1
et sa solution est (voir Exercice 7.9)
u n = u 0
n−1
k=0
(1 + hλ k ) + h
n−1
k=0
r k
n−1
j=k+1
(1 + hλ j ),
(7.34)
où λ k = λ(t k ) et r k = r(t k ), avec la convention que le dernier produit est
égal à 1 si k + 1 > n − 1. Considérons la méthode “perturbée” suivante
z n+1 = z n + h(λ n z n + r n + ρ n+1 ), n ≥ 0,
z 0 = u 0 + ρ 0 ,
(7.35)
où ρ 0 , ρ 1 , . . . sont des perturbations données à chaque pas de temps. Les
paramètres ρ 0 et ρ n+1 modélisent de manière simple le fait que ni u 0
ni r n ne peuvent être évalués de manière exacte. Si on tenait compte
de toutes les erreurs d’arrondi qui apparaissent à chaque pas de temps,
notre modèle perturbé serait bien plus complexe et difficile à analyser.
La solution de (7.35) s’obtient à partir de (7.34) en remplaçant u k par
z k et r k par r k + ρ k+1 , pour k = 0, . . . , n − 1. Ainsi
z n − u n = ρ 0
n−1
k=0
(1 + hλ k ) + h
n−1
k=0
ρ k+1
n−1
j=k+1
(1 + hλ j ).
(7.36)
La quantité |z n − u n | est appelée erreur de perturbation à l’itération n.
Soulignons que cette quantité ne dépend pas de la fonction r(t).
i. Pour les besoins de l’exposé, commençons par considérer le cas
particulier où λ k et ρ k sont deux constantes respectivement égales à λ
et ρ. Supposons que h < h 0 (λ) = 2/|λ| (c’est la condition sur h qui
assure la stabilité absolue de la méthode d’Euler explicite appliquée au
problème modèle (7.28)). Alors, en utilisant la propriété suivante des
suites géométriques