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7 Equations différentielles ordinaires
1
−1
Im(λ)
Im(λ)
Im(λ)
Re(λ)
Re(λ)
Re(λ)
Figure 7.6. Régions de stabilité absolue (colorées) pour les méthodes d’Euler
explicite (à gauche), d’Euler implicite (au centre) et de Crank-Nicolson (à
droite)
hλ ∈ C tels que |1 + hλ| < 1, et correspond donc au disque de rayon 1 et
de centre (−1, 0). Ceci fournit un majorant du pas de discrétisation h <
−2Re(λ)/|λ|
2 . Au contraire, la méthode d’Euler implicite est absolument
stable pour tous les hλ extérieurs au disque de rayon 1 centré en (1, 0)
(voir Figure 7.6). Enfin, la région de stabilité absolue de la méthode de
Crank-Nicolson correspond au demi-plan des complexes de partie réelle
négative.
Les méthodes qui sont inconditionnellement absolument stables pour
tout complexe de partie réelle négative λ (dans (7.28)) sont dites Astables. Les méthodes d’Euler implicite et de Crank-Nicolson sont donc
A-stables. C’est aussi le cas de nombreuses autres méthodes implicites.
Cette propriété rend les méthodes implicites attractives, bien qu’elles
soient plus coûteuses que les méthodes explicites.
Exemple 7.4 Déterminons la condition sur h quand on utilise la méthode
d’Euler explicite pour résoudre le problème de Cauchy y
(t) = λy avec λ =
−1 + i. Ce λ se situe sur la frontière de la région de stabilité absolue A de la
méthode d’Euler explicite. Donc pour tout h ∈]0, 1[, on a hλ ∈ A. Si on avait
λ = −2 + 2i, on devrait choisir h ∈]0, 1/2[ afin de ramener hλ dans la région
de stabilité A.
7.6.2 La stabilité absolue contrôle les perturbations
Considérons à présent le problème modèle généralisé
y
(t) = λ(t)y(t) + r(t),
t∈]0, +∞[,
y(0) = 1,
(7.33)
où λ et r sont deux fonctions continues avec −λ max ≤ λ(t) ≤ −λ min et
0 < λ min ≤ λ max < +∞. Dans ce cas, la solution exacte ne tend pas
nécessairement vers zéro quand t tend vers l’infini ; par exemple, si r et
λ sont constants, on a
y(t) =
1 +
r
λ
e
λt
−
r
λ
7 Equations différentielles ordinaires
1
−1
Im(λ)
Im(λ)
Im(λ)
Re(λ)
Re(λ)
Re(λ)
Figure 7.6. Régions de stabilité absolue (colorées) pour les méthodes d’Euler
explicite (à gauche), d’Euler implicite (au centre) et de Crank-Nicolson (à
droite)
hλ ∈ C tels que |1 + hλ| < 1, et correspond donc au disque de rayon 1 et
de centre (−1, 0). Ceci fournit un majorant du pas de discrétisation h <
−2Re(λ)/|λ|
2 . Au contraire, la méthode d’Euler implicite est absolument
stable pour tous les hλ extérieurs au disque de rayon 1 centré en (1, 0)
(voir Figure 7.6). Enfin, la région de stabilité absolue de la méthode de
Crank-Nicolson correspond au demi-plan des complexes de partie réelle
négative.
Les méthodes qui sont inconditionnellement absolument stables pour
tout complexe de partie réelle négative λ (dans (7.28)) sont dites Astables. Les méthodes d’Euler implicite et de Crank-Nicolson sont donc
A-stables. C’est aussi le cas de nombreuses autres méthodes implicites.
Cette propriété rend les méthodes implicites attractives, bien qu’elles
soient plus coûteuses que les méthodes explicites.
Exemple 7.4 Déterminons la condition sur h quand on utilise la méthode
d’Euler explicite pour résoudre le problème de Cauchy y
(t) = λy avec λ =
−1 + i. Ce λ se situe sur la frontière de la région de stabilité absolue A de la
méthode d’Euler explicite. Donc pour tout h ∈]0, 1[, on a hλ ∈ A. Si on avait
λ = −2 + 2i, on devrait choisir h ∈]0, 1/2[ afin de ramener hλ dans la région
de stabilité A.
7.6.2 La stabilité absolue contrôle les perturbations
Considérons à présent le problème modèle généralisé
y
(t) = λ(t)y(t) + r(t),
t∈]0, +∞[,
y(0) = 1,
(7.33)
où λ et r sont deux fonctions continues avec −λ max ≤ λ(t) ≤ −λ min et
0 < λ min ≤ λ max < +∞. Dans ce cas, la solution exacte ne tend pas
nécessairement vers zéro quand t tend vers l’infini ; par exemple, si r et
λ sont constants, on a
y(t) =
1 +
r
λ
e
λt
−
r
λ