7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
223
0.5
1
1.5
2
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
α = 0.4
α = 0.45
α = 0.3
t
0
2
4
6
8
10
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
α = 0.4
α = 0.45
α = 0.3
t
h
Figure 7.5. A gauche : solution numérique sur l’intervalle de temps ]0.5, 2[
obtenue par la méthode d’Euler avec h = αh0 (trait discontinu) et par la
méthode d’Euler explicite adaptative (7.32) (trait plein) pour trois valeurs de
α. A droite : comportement du pas de discrétisation variable h pour la méthode
adaptative (7.32)
de α. Ce graphique montre clairement que la suite {h n } croît de façon
monotone avec n.
Contrairement à la méthode d’Euler explicite, les méthodes d’Euler
implicite et de Crank-Nicolson sont absolument stables sans condition
sur h. Avec la méthode d’Euler implicite, on a u n+1 = u n + λhu n+1 et
donc
u n+1 =
1
1 − λh
n+1
,
n≥ 0,
qui tend vers zéro quand n → ∞ pour toute valeur de h > 0. De même,
avec la méthode de Crank-Nicolson on a
u n+1 =
1 +
hλ
2
1 −
hλ
2
n+1
,
n≥ 0,
qui tend aussi vers zéro quand n → ∞ pour toute valeur de h > 0.
On en conclut que la méthode d’Euler explicite est conditionnellement
absolument stable, tandis que les méthodes d’Euler implicite et de CrankNicolson sont inconditionnellement absolument stables.
7.6.1 Région de stabilité absolue
On suppose à présent que dans (7.28) λ est un complexe de partie réelle
négative. La solution u(t) = e
λt tend donc encore vers 0 quand t tend
vers l’infini. On appelle région de stabilité absolue A d’une méthode
numérique l’ensemble des nombres complexes z = hλ pour lesquels la
méthode est absolument stable (c’est-à-dire lim n→∞ u n = 0). La région
de stabilité absolue de la méthode d’Euler explicite est donnée par les