7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
229
0
20
40
60
80
100
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Figure 7.9. Erreurs de perturbation quand ρ(t) = sin(t) avec h = h0 − 0.01
(trait épais) et h = h0 + 0.01 (trait fin) pour le problème de Cauchy (7.49) ;
h0 = 2/3
On en déduit la relation (7.36) par récurrence. On peut alors tirer les
mêmes conclusions qu’en ii, dès lors que la condition de stabilité 0 < h <
2/λ max est vérifiée. Remarquer qu’il s’agit exactement de la condition
(7.15).
Exemple 7.5 Considérons le problème de Cauchy
y
(t) = arctan(3y) − 3y + t, t > 0, y(0) = 1.
(7.49)
Comme fy = 3/(1+9y
2 )−3 est négative, on peut choisir λmax = max |fy| = 3
et poser h < h0 =2/3. Ainsi, on s’attend à ce que les perturbations pour la
méthode d’Euler explicite restent sous contrôle dès que h < 2/3. Ceci est
confirmé par les résultats représentés sur la Figure 7.9. Noter que dans cet
exemple, si h = 2/3 + 0.01 (ce qui viole la condition de stabilité) l’erreur de
perturbation explose quand t augmente.
Exemple 7.6 On cherche un majorant de h garantissant la stabilité de la
méthode d’Euler explicite appliquée au problème de Cauchy
y
= 1 − y
2 ,
t>0,
(7.50)
avec y(0) =
e − 1
e + 1
. La solution exacte est y(t) = (e
2t+1 − 1)/(e
2t+1 + 1) et
fy = −2y. Comme fy ∈] − 2, −0.9[ pour tout t > 0, on peut prendre h inférieur
à h0 = 1. Sur la Figure 7.10, à gauche, on trace les solutions obtenues sur
l’intervalle ]0, 35[ avec h = 0.95 (trait épais) et h = 1.05 (trait fin). Dans les
deux cas la solution oscille mais demeure bornée. De plus, dans le premier
cas, la contrainte de stabilité est vérifiée : les oscillations sont amorties et la
solution numérique tend vers la solution exacte quand t croît. Sur la Figure
7.10, à droite, on trace les erreurs de perturbation correspondant à ρ(t) = sin(t)
avec h = h
∗ = 2/2.9 (trait plein épais) et h = 0.9 (trait fin discontinu). Dans
les deux cas, les erreurs de perturbation demeurent bornées ; plus précisément,
l’estimation (7.42) est vérifiée quand h = h
∗ = 2/2.9, et (7.47) est vérifiée
quand h
∗ < h = 0.9 < h0.
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3.5
Figure 7.9. Erreurs de perturbation quand ρ(t) = sin(t) avec h = h0 − 0.01
(trait épais) et h = h0 + 0.01 (trait fin) pour le problème de Cauchy (7.49) ;
h0 = 2/3
On en déduit la relation (7.36) par récurrence. On peut alors tirer les
mêmes conclusions qu’en ii, dès lors que la condition de stabilité 0 < h <
2/λ max est vérifiée. Remarquer qu’il s’agit exactement de la condition
(7.15).
Exemple 7.5 Considérons le problème de Cauchy
y
(t) = arctan(3y) − 3y + t, t > 0, y(0) = 1.
(7.49)
Comme fy = 3/(1+9y
2 )−3 est négative, on peut choisir λmax = max |fy| = 3
et poser h < h0 =2/3. Ainsi, on s’attend à ce que les perturbations pour la
méthode d’Euler explicite restent sous contrôle dès que h < 2/3. Ceci est
confirmé par les résultats représentés sur la Figure 7.9. Noter que dans cet
exemple, si h = 2/3 + 0.01 (ce qui viole la condition de stabilité) l’erreur de
perturbation explose quand t augmente.
Exemple 7.6 On cherche un majorant de h garantissant la stabilité de la
méthode d’Euler explicite appliquée au problème de Cauchy
y
= 1 − y
2 ,
t>0,
(7.50)
avec y(0) =
e − 1
e + 1
. La solution exacte est y(t) = (e
2t+1 − 1)/(e
2t+1 + 1) et
fy = −2y. Comme fy ∈] − 2, −0.9[ pour tout t > 0, on peut prendre h inférieur
à h0 = 1. Sur la Figure 7.10, à gauche, on trace les solutions obtenues sur
l’intervalle ]0, 35[ avec h = 0.95 (trait épais) et h = 1.05 (trait fin). Dans les
deux cas la solution oscille mais demeure bornée. De plus, dans le premier
cas, la contrainte de stabilité est vérifiée : les oscillations sont amorties et la
solution numérique tend vers la solution exacte quand t croît. Sur la Figure
7.10, à droite, on trace les erreurs de perturbation correspondant à ρ(t) = sin(t)
avec h = h
∗ = 2/2.9 (trait plein épais) et h = 0.9 (trait fin discontinu). Dans
les deux cas, les erreurs de perturbation demeurent bornées ; plus précisément,
l’estimation (7.42) est vérifiée quand h = h
∗ = 2/2.9, et (7.47) est vérifiée
quand h
∗ < h = 0.9 < h0.