220
7 Equations différentielles ordinaires
est appelé premier polynôme caractéristique associé à la méthode numérique (7.23). On note ses racines r j , j = 0, . . ., p. On peut montrer que la
méthode (7.23) est zéro-stable ssi la condition de racine est satisfaite
|r j | ≤ 1 pour tout j = 0, . . . , p,
de plus π
(r j ) = 0 pour les j tels que |r j | = 1.
(7.25)
Par exemple, pour la méthode d’Euler explicite on a
p = 0, a 0 = 1, b −1 = 0, b 0 = 1,
pour la méthode d’Euler implicite on a
p = 0, a 0 = 1, b −1 = 1, b 0 = 0,
et pour la méthode de Crank-Nicolson on a
p = 0, a 0 = 1, b −1 = 1/2, b 0 = 1/2.
Dans tous les cas, il n’y a qu’une racine de π(r) égale à 1. Toutes ces
méthodes sont donc zéro-stables.
La propriété suivante, connue sous le nom de théorème d’équivalence de Lax-Ritchmyer, est fondamentale dans la théorie des méthodes
numériques (voir p.ex. [IK66]), et met en évidence le rôle essentiel de la
zéro-stabilité
Toute méthode consistante est convergente ssi elle est zéro-stable
Conformément à ce qu’on a fait précédemment, on définit l’erreur de
troncature locale de la méthode multi-pas (7.23) par
τ n (h) =
1
h
⎧
⎨
⎩
y n+1 −
p
j=0
a j y n−j
−h
p
j=0
b j f(t n−j , y n−j ) − hb −1 f(t n+1 , y n+1 )
⎫
⎬
⎭
.
(7.26)
Comme vu précédemment, la méthode est dite consistante si τ (h) =
max |τ n (h)| tend vers zéro quand h tend vers zéro. Par un développement de Taylor assez fastidieux, on peut montrer que cette condition est
équivalente à
p
j=0
a j = 1,
−
p
j=0
ja j +
p
j=−1
b j = 1
(7.27)
qui, à son tour, revient à dire que r = 1 est une racine du polynôme π(r)
introduit en (7.24) (voir p.ex. [QSS07, Chapitre 11]).
7 Equations différentielles ordinaires
est appelé premier polynôme caractéristique associé à la méthode numérique (7.23). On note ses racines r j , j = 0, . . ., p. On peut montrer que la
méthode (7.23) est zéro-stable ssi la condition de racine est satisfaite
|r j | ≤ 1 pour tout j = 0, . . . , p,
de plus π
(r j ) = 0 pour les j tels que |r j | = 1.
(7.25)
Par exemple, pour la méthode d’Euler explicite on a
p = 0, a 0 = 1, b −1 = 0, b 0 = 1,
pour la méthode d’Euler implicite on a
p = 0, a 0 = 1, b −1 = 1, b 0 = 0,
et pour la méthode de Crank-Nicolson on a
p = 0, a 0 = 1, b −1 = 1/2, b 0 = 1/2.
Dans tous les cas, il n’y a qu’une racine de π(r) égale à 1. Toutes ces
méthodes sont donc zéro-stables.
La propriété suivante, connue sous le nom de théorème d’équivalence de Lax-Ritchmyer, est fondamentale dans la théorie des méthodes
numériques (voir p.ex. [IK66]), et met en évidence le rôle essentiel de la
zéro-stabilité
Toute méthode consistante est convergente ssi elle est zéro-stable
Conformément à ce qu’on a fait précédemment, on définit l’erreur de
troncature locale de la méthode multi-pas (7.23) par
τ n (h) =
1
h
⎧
⎨
⎩
y n+1 −
p
j=0
a j y n−j
−h
p
j=0
b j f(t n−j , y n−j ) − hb −1 f(t n+1 , y n+1 )
⎫
⎬
⎭
.
(7.26)
Comme vu précédemment, la méthode est dite consistante si τ (h) =
max |τ n (h)| tend vers zéro quand h tend vers zéro. Par un développement de Taylor assez fastidieux, on peut montrer que cette condition est
équivalente à
p
j=0
a j = 1,
−
p
j=0
ja j +
p
j=−1
b j = 1
(7.27)
qui, à son tour, revient à dire que r = 1 est une racine du polynôme π(r)
introduit en (7.24) (voir p.ex. [QSS07, Chapitre 11]).