7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
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7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
Dans la section précédente, on a considéré la résolution du problème
de Cauchy sur des intervalles bornés. Dans ce cadre, le nombre N h de
sous-intervalles ne tend vers l’infini que quand h tend vers zéro.
Il existe cependant de nombreuses situations dans lesquelles le problème de Cauchy doit être intégré sur des intervalles en temps très grands
ou même infini. Dans ce cas, même pour h fixé, N h tend vers l’infini, et
un résultat comme (7.13) n’a plus de sens puisque le membre de droite
contient une quantité non bornée. On s’intéresse donc à des méthodes
capables d’approcher la solution pour des intervalles en temps arbitrairement grands, même pour des pas de temps h “assez grands”.
La méthode d’Euler explicite n’est pas coûteuse mais ne possède malheureusement pas ces propriétés. Pour le voir, considérons le problème
modèle suivant
y
(t) = λy(t),
t∈]0, ∞[,
y(0) = 1,
(7.28)
où λ est un réel négatif. La solution exacte est y(t) = e
λt ; elle tend vers
0 quand t tend vers l’infini. En appliquant la méthode d’Euler explicite
à (7.28) on trouve
u 0 = 1,
u n+1 = u n (1 + λh) = (1 + λh)
n+1 ,
n≥ 0. (7.29)
Donc lim n→∞ u n = 0 ssi
−1 < 1 + hλ < 1, i.e. h < 2/|λ|
(7.30)
La condition exprime le fait que, pour h fixé, la solution numérique
reproduit le comportement de la solution exacte quand t n tend vers
l’infini. Si h > 2/|λ|, alors lim n→∞ |u n | = +∞ ; ainsi (7.30) est une
condition de stabilité. La propriété
lim
n→∞
u n = 0
(7.31)
est appelée stabilité absolue.
Exemple 7.3 Appliquons la méthode d’Euler explicite pour résoudre le problème (7.28) avec λ = −1. Dans ce cas, la stabilité absolue impose h < 2. Sur
la Figure 7.4, on indique les solutions obtenues sur l’intervalle [0, 30] pour trois
valeurs de h : h = 30/14 (qui viole la condition de stabilité), h = 30/16 (qui
satisfait de justesse la condition de stabilité) et h = 1/2. On peut voir que
dans les deux premiers cas la solution numérique oscille. Cependant, ce n’est
que dans le premier cas (celui qui viole la condition de stabilité) que la valeur
absolue de la solution numérique ne tend pas vers zéro à l’infini (et tend en
fait vers l’infini).
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7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés
Dans la section précédente, on a considéré la résolution du problème
de Cauchy sur des intervalles bornés. Dans ce cadre, le nombre N h de
sous-intervalles ne tend vers l’infini que quand h tend vers zéro.
Il existe cependant de nombreuses situations dans lesquelles le problème de Cauchy doit être intégré sur des intervalles en temps très grands
ou même infini. Dans ce cas, même pour h fixé, N h tend vers l’infini, et
un résultat comme (7.13) n’a plus de sens puisque le membre de droite
contient une quantité non bornée. On s’intéresse donc à des méthodes
capables d’approcher la solution pour des intervalles en temps arbitrairement grands, même pour des pas de temps h “assez grands”.
La méthode d’Euler explicite n’est pas coûteuse mais ne possède malheureusement pas ces propriétés. Pour le voir, considérons le problème
modèle suivant
y
(t) = λy(t),
t∈]0, ∞[,
y(0) = 1,
(7.28)
où λ est un réel négatif. La solution exacte est y(t) = e
λt ; elle tend vers
0 quand t tend vers l’infini. En appliquant la méthode d’Euler explicite
à (7.28) on trouve
u 0 = 1,
u n+1 = u n (1 + λh) = (1 + λh)
n+1 ,
n≥ 0. (7.29)
Donc lim n→∞ u n = 0 ssi
−1 < 1 + hλ < 1, i.e. h < 2/|λ|
(7.30)
La condition exprime le fait que, pour h fixé, la solution numérique
reproduit le comportement de la solution exacte quand t n tend vers
l’infini. Si h > 2/|λ|, alors lim n→∞ |u n | = +∞ ; ainsi (7.30) est une
condition de stabilité. La propriété
lim
n→∞
u n = 0
(7.31)
est appelée stabilité absolue.
Exemple 7.3 Appliquons la méthode d’Euler explicite pour résoudre le problème (7.28) avec λ = −1. Dans ce cas, la stabilité absolue impose h < 2. Sur
la Figure 7.4, on indique les solutions obtenues sur l’intervalle [0, 30] pour trois
valeurs de h : h = 30/14 (qui viole la condition de stabilité), h = 30/16 (qui
satisfait de justesse la condition de stabilité) et h = 1/2. On peut voir que
dans les deux premiers cas la solution numérique oscille. Cependant, ce n’est
que dans le premier cas (celui qui viole la condition de stabilité) que la valeur
absolue de la solution numérique ne tend pas vers zéro à l’infini (et tend en
fait vers l’infini).