7.5 Zéro-stabilité
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où :
- C est une constante qui peut dépendre de la longueur T − t 0 de l’intervalle d’intégration I, mais pas de h ;
- z n est la solution qu’on obtiendrait en appliquant la méthode numérique au problème perturbé ;
- ρ n est la perturbation à la n-ème étape ;
- ε est la perturbation maximale.
Naturellement, ε 0 doit être assez petit pour que le problème perturbé
ait encore une unique solution sur l’intervalle d’intégration I.
Par exemple, dans le cas de la méthode d’Euler explicite, u n vérifie
le problème
u n+1 = u n + hf(t n , u n ),
u 0 = y 0 ,
(7.21)
tandis que z n vérifie le problème perturbé
z n+1 = z n + h [f(t n , z n ) + ρ n+1 ] ,
z 0 = y 0 + ρ 0
(7.22)
pour 0 ≤ n ≤ N h − 1, sous l’hypothèse |ρ n | ≤ ε, 0 ≤ n ≤ N h .
Pour une méthode consistante à un pas, on peut prouver que la zérostabilité est une conséquence du fait que f est lipschitzienne par rapport
à sa deuxième variable (voir p.ex. [QSS07]). Dans ce cas, la constante C
qui apparaît dans (7.20) dépend de exp((T − t 0 )L), où L est la constante
de Lipschitz.
Cependant, ceci n’est pas toujours vrai pour les autres familles de
méthodes. Considérons par exemple une méthode numérique écrite sous
sa forme générale
u n+1 =
p
j=0
a j u n−j + h
p
j=0
b j f n−j + hb −1 f n+1 , n = p, p + 1, . . .(7.23)
où les {a k } et {b k } sont des coefficients donnés et p ≥ 0 un entier.
La formule (7.23) définit une importante famille de schémas : les
méthodes linéaires multi-pas (p + 1 représentant le nombre de pas). Ces
méthodes seront analysées plus en détail à la Section 7.7. Les données
initiales u 0 , u 1 , . . . , u p doivent être fournies. Mis à part u 0 , qui est égale
à y 0 , les autres valeurs, u 1 , . . . , u p , peuvent être obtenues à l’aide de
méthodes suffisament précises, telles que les méthodes de Runge-Kunta
que nous verrons à la Section 7.7.
Le polynôme
π(r) = r
p+1
−
p
j=0
a j r
p−j
(7.24)