1.3 Nombres complexes
9
1
2
3
4
5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
Figure 1.3. Résultat de la commande compass de MATLAB
On peut extraire la partie réelle d’un nombre complexe z avec la commande real(z) et sa partie imaginaire avec imag(z). Enfin, le complexe real imag
conjugué ¯
z = x − iy de z, est obtenu en écrivant simplement conj(z).
En MATLAB toutes les opérations sont effectuées en supposant
conj
implicitement que les opérandes et le résultat sont complexes. Ceci peut
entraîner quelques surprises. Par exemple, si on calcule la racine cubique
de −5 avec la commande (-5)ˆ(1/3), on trouve le complexe 0.8550 +
1.4809i au lieu de −1.7100 . . . (on anticipe ici l’utilisation du symbole
ˆ pour l’élévation à la puissance). Les nombres complexes de la forme ˆ
ρe
i(θ+2kπ) , où k est entier, sont égaux à z = ρe
iθ . En calculant les racines
cubiques complexes de z, on trouve 3
√ ρe
i(θ/3+2kπ/3) , c’est-à-dire les trois
racines distinctes
z 1 = 3
√
ρe
iθ/3 , z 2 = 3
√
ρe
i(θ/3+2π/3) , z 3 = 3
√ ρe
i(θ/3+4π/3) .
MATLAB sélectionnera celui rencontré en balayant le plan complexe
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre en partant de l’axe des
réels. Comme la représentation polaire de z = −5 est ρe
iθ avec ρ = 5
et θ = π, les trois racines sont (voir Figure 1.4 pour leur représentation
dans le plan de Gauss)
z 1 =
3
√
5(cos(π/3) + i sin(π/3)) 0.8550 + 1.4809i,
z 2 =
3
√
5(cos(π) + i sin(π)) −1.7100,
z 3 =
3
√
5(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) 0.8550 − 1.4809i.
C’est donc la première racine qui est retenue par MATLAB.
Enfin, avec (1.5), on obtient
cos(θ) =
1
2
e
iθ + e
−iθ
, sin(θ) =
1
2i
e
iθ
− e
−iθ
.
(1.6)
9
1
2
3
4
5
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
Figure 1.3. Résultat de la commande compass de MATLAB
On peut extraire la partie réelle d’un nombre complexe z avec la commande real(z) et sa partie imaginaire avec imag(z). Enfin, le complexe real imag
conjugué ¯
z = x − iy de z, est obtenu en écrivant simplement conj(z).
En MATLAB toutes les opérations sont effectuées en supposant
conj
implicitement que les opérandes et le résultat sont complexes. Ceci peut
entraîner quelques surprises. Par exemple, si on calcule la racine cubique
de −5 avec la commande (-5)ˆ(1/3), on trouve le complexe 0.8550 +
1.4809i au lieu de −1.7100 . . . (on anticipe ici l’utilisation du symbole
ˆ pour l’élévation à la puissance). Les nombres complexes de la forme ˆ
ρe
i(θ+2kπ) , où k est entier, sont égaux à z = ρe
iθ . En calculant les racines
cubiques complexes de z, on trouve 3
√ ρe
i(θ/3+2kπ/3) , c’est-à-dire les trois
racines distinctes
z 1 = 3
√
ρe
iθ/3 , z 2 = 3
√
ρe
i(θ/3+2π/3) , z 3 = 3
√ ρe
i(θ/3+4π/3) .
MATLAB sélectionnera celui rencontré en balayant le plan complexe
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre en partant de l’axe des
réels. Comme la représentation polaire de z = −5 est ρe
iθ avec ρ = 5
et θ = π, les trois racines sont (voir Figure 1.4 pour leur représentation
dans le plan de Gauss)
z 1 =
3
√
5(cos(π/3) + i sin(π/3)) 0.8550 + 1.4809i,
z 2 =
3
√
5(cos(π) + i sin(π)) −1.7100,
z 3 =
3
√
5(cos(−π/3) + i sin(−π/3)) 0.8550 − 1.4809i.
C’est donc la première racine qui est retenue par MATLAB.
Enfin, avec (1.5), on obtient
cos(θ) =
1
2
e
iθ + e
−iθ
, sin(θ) =
1
2i
e
iθ
− e
−iθ
.
(1.6)