8
1 Ce qu’on ne peut ignorer
5
10
15
20
25
30
10
−10
10
−8
10
−6
10
−4
10
−2
10
0
Figure 1.2. Erreur relative |π − zn|/π en fonction de n
Voir les Exercices 1.1–1.2.
1.3 Nombres complexes
Les nombres complexes, dont l’ensemble est noté C, sont de la forme
z = x+iy, où i est tel que i
2 = −1. On appelle x = Re(z) et y = Im(z) les
parties réelles et imaginaires de z, respectivement. Ils sont généralement
représentés dans un ordinateur par un couple de nombres réels.
A moins qu’elles ne soient redéfinies, les variables MATLAB i et j
désignent le nombre imaginaire pur i. Pour définir un nombre complexe
de partie réelle x et de partie imaginaire y, on peut écrire simplement
x+i*y ; on peut aussi utiliser la commande complex(x,y). Les reprécomplex
sentations exponentielles (ou polaires) et trigonométriques d’un nombre
complexe z sont équivalentes grâce à la formule d’Euler
z = ρe
iθ = ρ(cos θ + i sin θ),
(1.5)
où ρ =
x 2 + y 2 est le module du nombre complexe (obtenu avec la
commande abs(z)) et θ son argument, c’est-à-dire l’angle entre le vecabs
teur de composantes (x, y) et l’axe des x. L’argument θ est obtenu avec
la commande angle(z). La représentation (1.5) est donc :
angle
abs(z)*(cos(angle(z))+i*sin(angle(z))).
La représentation polaire d’un ou plusieurs nombres complexes peut
être obtenue avec la commande compass(z) où z est soit un unique
compass
nombre complexe, soit un vecteur dont les composantes sont des nombres
complexes. Par exemple, en tapant :
>> z = 3+i*3; compass(z);
on obtient le graphe de la Figure 1.3.