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7 Equations différentielles ordinaires
C
R2
R1 i1
i2
i3
I
L
e
Figure 7.2. Le circuit électrique du Problème 7.4
On a donc trouvé un système de deux équations différentielles dont la
résolution permet de décrire le comportement en temps des deux inconnues i 1 et v. La seconde équation est d’ordre deux. Pour sa résolution,
voir l’Exemple 7.8.
7.2 Le problème de Cauchy
Nous pouvons nous limiter aux équations différentielles du premier ordre,
car une équation d’ordre p > 1 peut toujours se ramener à un système de
p équations d’ordre 1. Le cas des systèmes du premier ordre sera traité
à la Section 7.9.
Une équation différentielle ordinaire admet généralement une infinité
de solutions. Pour en sélectionner une, on doit imposer une condition
supplémentaire qui correspond à la valeur prise par la solution en un
point de l’intervalle d’intégration. Par exemple, l’équation (7.2) admet
la famille de solutions y(t) = Bψ(t)/(1 + ψ(t)) avec ψ(t) = e
Ct+K , K
étant une constante arbitraire. Si on impose la condition y(0) = 1, on
sélectionne l’unique solution correspondant à la valeur K = ln[1/(B−1)].
On considérera par conséquent des problèmes, dits de Cauchy, de la
forme suivante :
trouver y : I⊂ R → R tel que
y
(t) = f(t, y(t))
∀t ∈ I,
y(t 0 ) = y 0 ,
(7.5)
où f : I × R → R est une fonction donnée et y
est la dérivée de y par
rapport à t. Enfin, t 0 est un point de I et y 0 une valeur appelée donnée
initiale.