7.1 Quelques problèmes types
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x
y
z
Figure 7.1. Référentiel pour le Problème 7.3
F x = −F (v)vv x + Bω(v z sin φ − v y cos φ),
F y = −F (v)vv y + Bωv x cos φ,
F z = −g − F (v)vv z − Bωv x sin φ.
(7.4)
v est le module de v, B = 4.1 10
−4 une constante normalisée, φ est
l’angle de lancement, ω est le module de la vitesse angulaire appliquée
à la balle par le lanceur. F (v) est un coefficient de friction, défini par
([GN06])
F (v) = 0.0039 +
0.0058
1 + e (v−35)/5 .
La résolution de ce système d’équations différentielles ordinaires sera
traitée dans l’Exercice 7.20.
Problème 7.4 (Circuits électriques) Considérons le circuit électrique
de la Figure 7.2. On veut calculer la fonction v(t) représentant la chute
de potentiel aux bornes du condensateur C sachant que l’interrupteur I
a été fermé à t = 0. On suppose que l’inductance L s’exprime comme
une fonction explicite de l’intensité du courant i, c’est-à-dire L = L(i).
La loi d’Ohm donne
e −
d(i 1 L(i 1 ))
dt
= i 1 R 1 + v,
où R 1 est une résistance. En supposant que le courant est dirigé comme
indiqué sur la Figure 7.2, on trouve, en dérivant par rapport à t la loi de
Kirchhoff i 1 = i 2 + i 3 et en remarquant que i 3 = Cdv/dt et i 2 = v/R 2 ,
l’équation supplémentaire
di 1
dt
= C
d
2 v
dt 2 +
1
R 2
dv
dt
.