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7 Equations différentielles ordinaires
v. Par conséquent, en posant T (0) = T 0 , le calcul de T (t) nécessite la
résolution de l’équation différentielle ordinaire
dT
dt
= −
v
mC
.
(7.1)
Voir sa résolution dans l’Exercice 7.15.
Problème 7.2 (Dynamique des populations) Considérons une population de bactéries dans un environnement confiné dans lequel pas
plus de B individus ne peuvent coexister. On suppose qu’au temps initial le nombre d’individus est égal à y 0 B et que le taux de croissance
des bactéries est une constante positive C. Alors, la vitesse de croissance de la population est proportionnelle au nombre de bactéries, sous
la contrainte que ce nombre ne peut dépasser B. Ceci se traduit par
l’équation différentielle suivante
dy
dt
= Cy
1 −
y
B
,
(7.2)
dont la solution y = y(t) représente le nombre de bactéries au temps t.
Supposons que deux populations y 1 et y 2 soient en compétition.
L’équation (7.2) est alors remplacée par
dy 1
dt
= C 1 y 1 (1 − b 1 y 1 − d 2 y 2 ) ,
dy 2
dt
= −C 2 y 2 (1 − b 2 y 2 − d 1 y 1 ) ,
(7.3)
où C 1 et C 2 représentent les taux de croissance des deux populations.
Les coefficients d 1 et d 2 commandent le type d’interaction entre les deux
populations, tandis que b 1 et b 2 sont reliés à la quantité de nutriments disponibles. Les équations (7.3) sont appelées équations de Lotka-Volterra
et servent de base à divers modèles. Leur résolution numérique est traitée
dans l’Exemple 7.7.
Problème 7.3 (Trajectoire au baseball) On veut simuler la trajectoire d’une balle de baseball depuis le lanceur jusqu’au catch. En adoptant le référentiel représenté sur la Figure 7.1, les équations décrivant le
mouvement de la balle sont (voir [Ada90], [GN06])
dx
dt
= v,
dv
dt
= F,
où x(t) = (x(t), y(t), z(t))
T désigne la position de la balle au temps t,
v(t) = (v x (t), v y (t), v z (t))
T sa vitesse, et F le vecteur de composantes
7 Equations différentielles ordinaires
v. Par conséquent, en posant T (0) = T 0 , le calcul de T (t) nécessite la
résolution de l’équation différentielle ordinaire
dT
dt
= −
v
mC
.
(7.1)
Voir sa résolution dans l’Exercice 7.15.
Problème 7.2 (Dynamique des populations) Considérons une population de bactéries dans un environnement confiné dans lequel pas
plus de B individus ne peuvent coexister. On suppose qu’au temps initial le nombre d’individus est égal à y 0 B et que le taux de croissance
des bactéries est une constante positive C. Alors, la vitesse de croissance de la population est proportionnelle au nombre de bactéries, sous
la contrainte que ce nombre ne peut dépasser B. Ceci se traduit par
l’équation différentielle suivante
dy
dt
= Cy
1 −
y
B
,
(7.2)
dont la solution y = y(t) représente le nombre de bactéries au temps t.
Supposons que deux populations y 1 et y 2 soient en compétition.
L’équation (7.2) est alors remplacée par
dy 1
dt
= C 1 y 1 (1 − b 1 y 1 − d 2 y 2 ) ,
dy 2
dt
= −C 2 y 2 (1 − b 2 y 2 − d 1 y 1 ) ,
(7.3)
où C 1 et C 2 représentent les taux de croissance des deux populations.
Les coefficients d 1 et d 2 commandent le type d’interaction entre les deux
populations, tandis que b 1 et b 2 sont reliés à la quantité de nutriments disponibles. Les équations (7.3) sont appelées équations de Lotka-Volterra
et servent de base à divers modèles. Leur résolution numérique est traitée
dans l’Exemple 7.7.
Problème 7.3 (Trajectoire au baseball) On veut simuler la trajectoire d’une balle de baseball depuis le lanceur jusqu’au catch. En adoptant le référentiel représenté sur la Figure 7.1, les équations décrivant le
mouvement de la balle sont (voir [Ada90], [GN06])
dx
dt
= v,
dv
dt
= F,
où x(t) = (x(t), y(t), z(t))
T désigne la position de la balle au temps t,
v(t) = (v x (t), v y (t), v z (t))
T sa vitesse, et F le vecteur de composantes