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Equations différentielles ordinaires
Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs
dérivées d’une fonction inconnue. Si toutes les dérivées sont prises par
rapport à une seule variable, on parle d’équation différentielle ordinaire.
Une équation mettant en jeu des dérivées partielles est appelée équation
aux dérivées partielles.
On dit qu’une équation différentielle (ordinaire ou aux dérivées partielles) est d’ordre p si elle implique des dérivées d’ordre au plus p. Nous
consacrerons le chapitre suivant à l’étude d’équations aux dérivées partielles. Dans le présent chapitre, nous considérons des équations différentielles ordinaires d’ordre un.
7.1 Quelques problèmes types
Les équations différentielles décrivent l’évolution de nombreux phénomènes dans des domaines variés, comme le montre les quatre exemples
suivants.
Problème 7.1 (Thermodynamique) Considérons un corps ponctuel
de masse m et de température interne T situé dans un environnement
de température constante T e . Le transfert de chaleur entre le corps et
l’extérieur peut être décrit par la loi de Stefan-Boltzmann
v(t) =
4 (t) − T
4
e ),
où t est la variable temporelle, la constante de Boltzmann (égale à
5.6 · 10
−8 J/m
2 K
4 s, J est l’abréviation de Joule, K celle de Kelvin et,
naturellement, m et s celles de mètre et seconde), γ est la constante
d’émissivité du corps, S sa surface et v est la vitesse de transfert de
chaleur. Le taux de variation de l’énergie E(t) = mCT (t) (où C est la
capacité calorifique du corps) est égal, en valeur absolue, à la vitesse
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010
Equations différentielles ordinaires
Une équation différentielle est une équation impliquant une ou plusieurs
dérivées d’une fonction inconnue. Si toutes les dérivées sont prises par
rapport à une seule variable, on parle d’équation différentielle ordinaire.
Une équation mettant en jeu des dérivées partielles est appelée équation
aux dérivées partielles.
On dit qu’une équation différentielle (ordinaire ou aux dérivées partielles) est d’ordre p si elle implique des dérivées d’ordre au plus p. Nous
consacrerons le chapitre suivant à l’étude d’équations aux dérivées partielles. Dans le présent chapitre, nous considérons des équations différentielles ordinaires d’ordre un.
7.1 Quelques problèmes types
Les équations différentielles décrivent l’évolution de nombreux phénomènes dans des domaines variés, comme le montre les quatre exemples
suivants.
Problème 7.1 (Thermodynamique) Considérons un corps ponctuel
de masse m et de température interne T situé dans un environnement
de température constante T e . Le transfert de chaleur entre le corps et
l’extérieur peut être décrit par la loi de Stefan-Boltzmann
v(t) =
4 (t) − T
4
e ),
où t est la variable temporelle, la constante de Boltzmann (égale à
5.6 · 10
−8 J/m
2 K
4 s, J est l’abréviation de Joule, K celle de Kelvin et,
naturellement, m et s celles de mètre et seconde), γ est la constante
d’émissivité du corps, S sa surface et v est la vitesse de transfert de
chaleur. Le taux de variation de l’énergie E(t) = mCT (t) (où C est la
capacité calorifique du corps) est égal, en valeur absolue, à la vitesse
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
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