7.3 Méthodes d’Euler
209
On rappelle dans la proposition suivante un résultat classique d’analyse.
Proposition 7.1 On suppose que la fonction f(t, y) est
1. continue par rapport à ses deux variables ;
2. lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, c’est-à-dire
qu’il existe une constante positive L (appelée constante de Lipschitz) telle que
|f(t, y 1 ) − f(t, y 2 )| ≤ L|y 1 − y 2 |, ∀t ∈ I, ∀y 1 , y 2 ∈ R.
Alors la solution y = y(t) du problème de Cauchy (7.5) existe, est
unique et appartient à C
1 (I).
Malheureusement, on ne peut expliciter les solutions que pour des
équations différentielles ordinaires très particulières. Dans certains cas,
on ne peut exprimer la solution que sous forme implicite. Par exemple,
la solution de y
= (y − t)/(y + t) vérifie la relation implicite
1
2
ln(t
2 + y
2 ) + arctg
y
t
= C,
où C est une constante. Dans d’autres cas, on ne parvient même pas
à représenter la solution sous forme implicite. Par exemple, la solution
générale de y
= e
−t
2 ne peut s’exprimer qu’à l’aide d’un développement
en séries.
Pour ces raisons, on cherche des méthodes numériques capables d’approcher la solution de toutes les équations différentielles qui admettent
une solution.
Le principe de toutes ces méthodes est de subdiviser l’intervalle I =
[t 0 , T ], avec T < +∞, en N h intervalles de longueur h = (T − t 0 )/N h ;
h est appelé le pas de discrétisation. Alors, pour chaque noeud t n =
t 0 + nh (1 ≤ n ≤ N h ) on cherche la valeur inconnue u n qui approche
y n = y(t n ). L’ensemble des valeurs {u 0 = y 0 , u 1 , . . . , u Nh } représente la
solution numérique.
7.3 Méthodes d’Euler
Une méthode classique, la méthode d’Euler explicite (ou progressive, de
l’anglais forward), consiste à construire une solution numérique ainsi
u n+1 = u n + hf n ,
n= 0, . . ., N h − 1
(7.6)