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6 Valeurs propres et vecteurs propres
Pour calculer simultanément toutes les valeurs propres d’une matrice
symétrique, on peut utiliser, à part la méthode QR, la méthode de Jacobi.
Cette dernière consiste à transformer une matrice symétrique en une
matrice diagonale en éliminant pas à pas, à l’aide de similitudes, tous
les termes extra-diagonaux. Ce procédé ne converge pas en un nombre
fini d’itérations car quand un terme extra-diagonal est annulé, un terme
mis à zéro au cours d’une itération précédente peut reprendre une valeur
non nulle.
Il existe encore d’autres méthodes, comme celles de Lanczos et celles
utilisant les suites de Sturm. Pour une présentation de ces techniques,
voir [Saa92].
Dans MATLAB, on peut utiliser la bibliothèque ARPACK (accessible avec la commande arpackc) pour calculer les valeurs propres des
arpackc
grandes matrices. La fonction eigs est une commande MATLAB qui
utilise cette bibliothèque.
Mentionnons enfin que la technique de déflation (qui consiste à éliminer successivement les valeurs propres déjà calculées) permet d’accélérer
la convergence des méthodes précédentes et donc de réduire leur coût de
calcul.
6.7 Exercices
Exercice 6.1 En prenant une tolérance de ε = 10
−10 et en partant de la donnée initiale x
(0) = (1, 2, 3)
T , utiliser la méthode de la puissance pour approcher
la valeur propre de module maximal des matrices suivantes
A1 =
⎡
⎣
1 2 0
1 0 0
0 1 0
⎤
⎦ , A2 =
⎡
⎣
0.1 3.8 0
1 0 0
0 1 0
⎤
⎦ , A3 =
⎡
⎣
0 −1 0
1 0 0
0 1 0
⎤
⎦ .
Commenter la convergence de la méthode dans les trois cas.
Exercice 6.2 (Dynamique des populations) Les caractéristiques d’une population de poissons sont décrites par la matrice de Leslie suivante, définie dans
le Problème 6.2
i Tranche d’âge (mois) x
(0)
i
mi
si
0
0–3
6
0
0.2
1
3–6
12
0.5 0.4
2
6–9
8
0.8 0.8
3
9–12
4
0.3
–
Trouver le vecteur x de la distribution normalisée de cette population pour
différentes tranches d’âge (en s’inspirant du Problème 6.2).
Exercice 6.3 Démontrer que la méthode de la puissance ne converge pas
pour des matrices ayant deux valeurs propres de module maximal λ1 = γe
iϑ
et λ2 = γe
−iϑ , où i =
√ −1 , γ ∈ R \ {0} et ϑ ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}.
6 Valeurs propres et vecteurs propres
Pour calculer simultanément toutes les valeurs propres d’une matrice
symétrique, on peut utiliser, à part la méthode QR, la méthode de Jacobi.
Cette dernière consiste à transformer une matrice symétrique en une
matrice diagonale en éliminant pas à pas, à l’aide de similitudes, tous
les termes extra-diagonaux. Ce procédé ne converge pas en un nombre
fini d’itérations car quand un terme extra-diagonal est annulé, un terme
mis à zéro au cours d’une itération précédente peut reprendre une valeur
non nulle.
Il existe encore d’autres méthodes, comme celles de Lanczos et celles
utilisant les suites de Sturm. Pour une présentation de ces techniques,
voir [Saa92].
Dans MATLAB, on peut utiliser la bibliothèque ARPACK (accessible avec la commande arpackc) pour calculer les valeurs propres des
arpackc
grandes matrices. La fonction eigs est une commande MATLAB qui
utilise cette bibliothèque.
Mentionnons enfin que la technique de déflation (qui consiste à éliminer successivement les valeurs propres déjà calculées) permet d’accélérer
la convergence des méthodes précédentes et donc de réduire leur coût de
calcul.
6.7 Exercices
Exercice 6.1 En prenant une tolérance de ε = 10
−10 et en partant de la donnée initiale x
(0) = (1, 2, 3)
T , utiliser la méthode de la puissance pour approcher
la valeur propre de module maximal des matrices suivantes
A1 =
⎡
⎣
1 2 0
1 0 0
0 1 0
⎤
⎦ , A2 =
⎡
⎣
0.1 3.8 0
1 0 0
0 1 0
⎤
⎦ , A3 =
⎡
⎣
0 −1 0
1 0 0
0 1 0
⎤
⎦ .
Commenter la convergence de la méthode dans les trois cas.
Exercice 6.2 (Dynamique des populations) Les caractéristiques d’une population de poissons sont décrites par la matrice de Leslie suivante, définie dans
le Problème 6.2
i Tranche d’âge (mois) x
(0)
i
mi
si
0
0–3
6
0
0.2
1
3–6
12
0.5 0.4
2
6–9
8
0.8 0.8
3
9–12
4
0.3
–
Trouver le vecteur x de la distribution normalisée de cette population pour
différentes tranches d’âge (en s’inspirant du Problème 6.2).
Exercice 6.3 Démontrer que la méthode de la puissance ne converge pas
pour des matrices ayant deux valeurs propres de module maximal λ1 = γe
iϑ
et λ2 = γe
−iϑ , où i =
√ −1 , γ ∈ R \ {0} et ϑ ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}.