6.7 Exercices
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Exercice 6.4 Montrer que les valeurs propres de A
−1 sont les inverses de
celles de A.
Exercice 6.5 Vérifier que la méthode de la puissance ne parvient pas à calculer la valeur propre de module maximal de la matrice suivante, et expliquer
pourquoi
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1
3
2
3
2 3
1 0 −1 2
0 0 −
5
3
−
2
3
0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Exercice 6.6 En utilisant la méthode de la puissance avec décalage, calculer
la plus grande valeur propre positive et la valeur propre négative de plus grand
module de
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
3 1 0 0 0 0 0
1 2 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0
0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 0 1 2 1
0 0 0 0 0 1 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
A est appelée matrice de Wilkinson et peut être construite par la commande
wilkinson(7).
wilkinson
Exercice 6.7 En utilisant les disques de Gershgorin, donner une estimation
du nombre maximal de valeurs propres complexes des matrices suivantes
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
2 −
1
2
0 −
1
2
0 4 0 2
−
1
2
0 6
1
2
0 0 1 9
⎤
⎥
⎥
⎦ , B =
⎡
⎢
⎢
⎣
−5 0
1
2
1
2
1
2 2
1
2 0
0 1 0
1
2
0
1
4
1
2
3
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Exercice 6.8 Utiliser le résultat de la Proposition 6.1 pour trouver un décalage permettant le calcul de la valeur propre de module maximale de
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
5 0 1 −1
0 2 0 −
1
2
0 1 −1 1
−1 −1 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Comparer alors le nombre d’itérations et le coût de calcul de la méthode de la
puissance avec et sans décalage en fixant la tolérance à 10
−14 .
Exercice 6.9 Montrer que les matrices A
(k) construites au cours des itérations de la méthode QR sont toutes semblables à la matrice A.
Exercice 6.10 Avec la commande eig, calculer toutes le valeurs propres des
deux matrices de l’Exercice 6.7. Vérifier alors la précision des conclusions qu’on
peut tirer de la Proposition 6.1.