6.4 Comment calculer le décalage
197
Proposition 6.1 Toutes les valeurs propres d’une matrice A∈
C
n×n appartiennent à la région du plan complexe définie par l’intersection des deux régions constituées respectivement de la réunion
des disques des lignes et des disques des colonnes.
Si de plus m disques des lignes (ou des colonnes), 1 ≤ m ≤ n, sont
disjoints de la réunion des n − m autres disques, alors leur réunion
contient exactement m valeurs propres.
Rien n’assure qu’un disque contienne des valeurs propres, à moins
qu’il ne soit isolé des autres. L’estimation fournie par les disques de
Ghersghorin est en général assez grossière. On peut cependant utiliser
le résultat ci-dessus pour avoir une première estimation du décalage,
comme le montre l’exemple suivant.
Remarquer qu’on peut déduire de la Proposition 6.1 que toutes les
valeurs propres d’une matrice à diagonale strictement dominante sont
non nulles.
Exemple 6.7 On déduit de l’analyse des disques des lignes de la matrice
A(30) de l’Exemple 6.1, que les parties réelles des valeurs propres de A sont
comprises entre −32 et 48. On peut donc utiliser le Programme 6.2 pour calculer la valeur propre de module maximal en choisissant un décalage μ égal
à 48. La méthode converge alors en 15 itérations, tandis que 22 itérations
sont nécessaires pour la méthode de la puissance avec la même donnée initiale
x0=[1;1;1;1] et la même tolérance tol=1.e-10.
Résumons-nous
1. La méthode de la puissance est un algorithme itératif qui permet
le calcul de la valeur propre de plus grand module d’une matrice
donnée ;
2. la méthode de la puissance inverse permet le calcul de la valeur
propre de plus petit module ; pour l’implémenter efficacement, il est
recommandé de factoriser la matrice avant de démarrer les itérations ;
3. la méthode de la puissance avec décalage permet le calcul de la valeur
propre la plus proche d’une valeur donnée ; pour être efficace, elle
nécessite une connaissance a priori de la localisation des valeurs
propres de la matrice. Cette localisation peut se faire à l’aide des
disque de Gershgorin.
Voir Exercices 6.7–6.8.
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Proposition 6.1 Toutes les valeurs propres d’une matrice A∈
C
n×n appartiennent à la région du plan complexe définie par l’intersection des deux régions constituées respectivement de la réunion
des disques des lignes et des disques des colonnes.
Si de plus m disques des lignes (ou des colonnes), 1 ≤ m ≤ n, sont
disjoints de la réunion des n − m autres disques, alors leur réunion
contient exactement m valeurs propres.
Rien n’assure qu’un disque contienne des valeurs propres, à moins
qu’il ne soit isolé des autres. L’estimation fournie par les disques de
Ghersghorin est en général assez grossière. On peut cependant utiliser
le résultat ci-dessus pour avoir une première estimation du décalage,
comme le montre l’exemple suivant.
Remarquer qu’on peut déduire de la Proposition 6.1 que toutes les
valeurs propres d’une matrice à diagonale strictement dominante sont
non nulles.
Exemple 6.7 On déduit de l’analyse des disques des lignes de la matrice
A(30) de l’Exemple 6.1, que les parties réelles des valeurs propres de A sont
comprises entre −32 et 48. On peut donc utiliser le Programme 6.2 pour calculer la valeur propre de module maximal en choisissant un décalage μ égal
à 48. La méthode converge alors en 15 itérations, tandis que 22 itérations
sont nécessaires pour la méthode de la puissance avec la même donnée initiale
x0=[1;1;1;1] et la même tolérance tol=1.e-10.
Résumons-nous
1. La méthode de la puissance est un algorithme itératif qui permet
le calcul de la valeur propre de plus grand module d’une matrice
donnée ;
2. la méthode de la puissance inverse permet le calcul de la valeur
propre de plus petit module ; pour l’implémenter efficacement, il est
recommandé de factoriser la matrice avant de démarrer les itérations ;
3. la méthode de la puissance avec décalage permet le calcul de la valeur
propre la plus proche d’une valeur donnée ; pour être efficace, elle
nécessite une connaissance a priori de la localisation des valeurs
propres de la matrice. Cette localisation peut se faire à l’aide des
disque de Gershgorin.
Voir Exercices 6.7–6.8.