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6 Valeurs propres et vecteurs propres
6.5 Calcul de toutes les valeurs propres
Deux matrices carrées A et B de même dimension sont dites semblables
s’il existe une matrice P inversible telle que
P
−1 AP = B.
Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. En effet, si λ
est une valeur propre de A et x = 0 un vecteur propre associé, on a
BP
−1
x = P
−1 Ax = λP
−1
x,
ce qui revient à dire que λ est aussi valeur propre de B et y = P
−1
x est
un vecteur propre associé.
Les méthodes permettant le calcul simultané de toutes les valeurs
propres d’une matrice transforment généralement A (après une infinité
d’itérations) en une matrice semblable diagonale ou triangulaire. Les
valeurs propres sont alors simplement les coefficients diagonaux de la
matrice obtenue.
Parmi ces méthodes, citons la méthode QR qui est implémentée
dans la fonction eig de MATLAB. La commande D=eig(A) renvoie
eig
un vecteur D contenant toutes les valeurs propres de A. En écrivant
[X,D]=eig(A), on obtient deux matrices : la matrice diagonale D constituée par les valeurs propres de A, et une matrice X dont les vecteurs
colonnes sont des vecteurs propres de A, de sorte que A*X=X*D.
Le nom de la méthode QR pour le calcul de valeurs propres provient
de l’utilisation répétée de la factorisation QR (Section 5.7). Nous ne
présentons ici la méthode QR que pour les matrices réelles et sous sa
forme la plus simple (dont la convergence n’est pas toujours garantie).
Pour une description plus complète, on renvoie à [QSS07, Chap. 5], et
à [GL96, Section 5.2.10], [Dem97, Section 4.2.1] pour une extension au
cas complexe.
L’idée consiste à construire une suite de matrices A
(k) , toutes semblables à A. Après avoir posé A
(0) = A, on utilise la factorisation QR
pour calculer les matrices carrées Q
(k+1) et R
(k+1) pour k = 0, 1, . . .
telles que
Q
(k+1) R
(k+1) = A
(k) ,
puis on pose A
(k+1) = R
(k+1) Q
(k+1) .
Les matrices A
(k) , k = 0, 1, 2, . . . sont toutes semblables, elles ont
donc les mêmes valeurs propres que A (voir Exercice 6.9). De plus, si
A ∈ R
n×n et si ses valeurs propres vérifient |λ 1 | > |λ 2 | > . . . > |λ n |,
alors
6 Valeurs propres et vecteurs propres
6.5 Calcul de toutes les valeurs propres
Deux matrices carrées A et B de même dimension sont dites semblables
s’il existe une matrice P inversible telle que
P
−1 AP = B.
Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. En effet, si λ
est une valeur propre de A et x = 0 un vecteur propre associé, on a
BP
−1
x = P
−1 Ax = λP
−1
x,
ce qui revient à dire que λ est aussi valeur propre de B et y = P
−1
x est
un vecteur propre associé.
Les méthodes permettant le calcul simultané de toutes les valeurs
propres d’une matrice transforment généralement A (après une infinité
d’itérations) en une matrice semblable diagonale ou triangulaire. Les
valeurs propres sont alors simplement les coefficients diagonaux de la
matrice obtenue.
Parmi ces méthodes, citons la méthode QR qui est implémentée
dans la fonction eig de MATLAB. La commande D=eig(A) renvoie
eig
un vecteur D contenant toutes les valeurs propres de A. En écrivant
[X,D]=eig(A), on obtient deux matrices : la matrice diagonale D constituée par les valeurs propres de A, et une matrice X dont les vecteurs
colonnes sont des vecteurs propres de A, de sorte que A*X=X*D.
Le nom de la méthode QR pour le calcul de valeurs propres provient
de l’utilisation répétée de la factorisation QR (Section 5.7). Nous ne
présentons ici la méthode QR que pour les matrices réelles et sous sa
forme la plus simple (dont la convergence n’est pas toujours garantie).
Pour une description plus complète, on renvoie à [QSS07, Chap. 5], et
à [GL96, Section 5.2.10], [Dem97, Section 4.2.1] pour une extension au
cas complexe.
L’idée consiste à construire une suite de matrices A
(k) , toutes semblables à A. Après avoir posé A
(0) = A, on utilise la factorisation QR
pour calculer les matrices carrées Q
(k+1) et R
(k+1) pour k = 0, 1, . . .
telles que
Q
(k+1) R
(k+1) = A
(k) ,
puis on pose A
(k+1) = R
(k+1) Q
(k+1) .
Les matrices A
(k) , k = 0, 1, 2, . . . sont toutes semblables, elles ont
donc les mêmes valeurs propres que A (voir Exercice 6.9). De plus, si
A ∈ R
n×n et si ses valeurs propres vérifient |λ 1 | > |λ 2 | > . . . > |λ n |,
alors