6.1 Quelques problèmes types
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Lotka en 1920 et formalisé 20 ans plus tard par Leslie, est basé sur le taux
de mortalité et de fécondité pour différentes tranches d’âge i = 0, . . ., n.
Soit x
(t)
i
le nombre de femelles (les mâles n’interviennent pas dans ce
modèle) dont l’âge au temps t appartient à la i-ème tranche. On suppose que les valeurs de x
(0)
i
sont données. Notons s i le taux de survie
des femelles de la i-ème tranche, et m i le nombre moyen de femelles
engendrées par des femelles de la i-ème tranche d’âge.
Le modèle de Lotka et Leslie est défini par les équations
x
(t+1)
i+1 = x
(t)
i s i
i = 0, . . ., n − 1,
x
(t+1)
0
=
n
i=0
x
(t)
i m i .
Les n premières équations décrivent le développement de la population,
la dernière sa reproduction. Sous forme matricielle, cela donne
x
(t+1) = Ax
(t) ,
où x
(t) = (x
(t)
0 , . . . , x
(t)
n )
T et A est la matrice de Leslie
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
m 0 m 1 . . . . . . m n
s 0 0 . . . . . . 0
0 s 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 0 s n−1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Nous verrons dans la Section 6.2 que la dynamique de cette population est déterminée par la valeur propre de module maximal de A,
λ 1 , tandis que la distribution des individus dans les différentes tranches
d’âge (normalisée par la population totale), est obtenue comme la limite
de x
(t) pour t → ∞ et vérifie Ax = λ 1 x. Ce problème sera résolu dans
l’Exercice 6.2.
Problème 6.3 (Connections interurbaines) Etant donné n villes,
on note A la matrice dont les coefficients a ij valent 1 si la i-ème ville est
directement reliée à la j-ème, et 0 sinon. On peut montrer que les composantes d’un vecteur propre x de norme 1 associé à la valeur propre la plus
grande donnent le taux d’accessibilité (qui est une mesure de la facilité
d’accès) des diverses villes. Dans l’Exemple 6.2, on calculera ce vecteur
dans le cas des connections ferroviaires entre les onze plus grandes villes
de Lombardie (voir Figure 6.2).
Problème 6.4 (Compression d’images) Le problème de la compression d’images peut être traité à l’aide de la décomposition en valeurs
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Lotka en 1920 et formalisé 20 ans plus tard par Leslie, est basé sur le taux
de mortalité et de fécondité pour différentes tranches d’âge i = 0, . . ., n.
Soit x
(t)
i
le nombre de femelles (les mâles n’interviennent pas dans ce
modèle) dont l’âge au temps t appartient à la i-ème tranche. On suppose que les valeurs de x
(0)
i
sont données. Notons s i le taux de survie
des femelles de la i-ème tranche, et m i le nombre moyen de femelles
engendrées par des femelles de la i-ème tranche d’âge.
Le modèle de Lotka et Leslie est défini par les équations
x
(t+1)
i+1 = x
(t)
i s i
i = 0, . . ., n − 1,
x
(t+1)
0
=
n
i=0
x
(t)
i m i .
Les n premières équations décrivent le développement de la population,
la dernière sa reproduction. Sous forme matricielle, cela donne
x
(t+1) = Ax
(t) ,
où x
(t) = (x
(t)
0 , . . . , x
(t)
n )
T et A est la matrice de Leslie
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
m 0 m 1 . . . . . . m n
s 0 0 . . . . . . 0
0 s 1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0 0 0 s n−1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
Nous verrons dans la Section 6.2 que la dynamique de cette population est déterminée par la valeur propre de module maximal de A,
λ 1 , tandis que la distribution des individus dans les différentes tranches
d’âge (normalisée par la population totale), est obtenue comme la limite
de x
(t) pour t → ∞ et vérifie Ax = λ 1 x. Ce problème sera résolu dans
l’Exercice 6.2.
Problème 6.3 (Connections interurbaines) Etant donné n villes,
on note A la matrice dont les coefficients a ij valent 1 si la i-ème ville est
directement reliée à la j-ème, et 0 sinon. On peut montrer que les composantes d’un vecteur propre x de norme 1 associé à la valeur propre la plus
grande donnent le taux d’accessibilité (qui est une mesure de la facilité
d’accès) des diverses villes. Dans l’Exemple 6.2, on calculera ce vecteur
dans le cas des connections ferroviaires entre les onze plus grandes villes
de Lombardie (voir Figure 6.2).
Problème 6.4 (Compression d’images) Le problème de la compression d’images peut être traité à l’aide de la décomposition en valeurs