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6 Valeurs propres et vecteurs propres
(9)
(8)
(7)
(5)
(4)
(1)
(3)
(2)
(10)
(11)
(6)
1 Milan
2 Pavie
3 Lodi
4 Brescia
5 Bergame
6 Côme
7 Varèse
8 Lecco
9 Sondrio
10 Crémone
11 Mantoue
Figure 6.2. Représentation schématique du réseau ferroviaire entre les principales villes de Lombardie
singulières d’une matrice définie en (5.41). En effet, une image en noir et
blanc peut être représentée par une matrice réelle A rectangulaire m×n,
où m et n sont respectivement le nombre de pixels dans les directions
horizontale et verticale, et les coefficients a ij représentent le niveau de
gris du pixel (i, j). En effectuant la décomposition en valeurs singulières
(5.41) de A, et en notant u i et v i les i-ème vecteurs colonnes de U et V
respectivement, on trouve
A = σ 1 u 1 v
T
1 + σ 2 u 2 v
T
2 + . . . + σ p u p v
T
p .
(6.4)
On peut approcher A par la matrice A k obtenue en tronquant la somme
(6.4) aux k premiers termes, pour 1 ≤ k ≤ p. Si les valeurs singulières
σ i sont rangées en ordre décroissant, σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ p , négliger
les p − k dernières ne devrait pas affecter significativement la qualité
de l’image. Pour transférer l’image “compressée” A k (par exemple d’un
ordinateur à un autre), il suffit de transférer les vecteurs u i , v i et les
valeurs singulières σ i pour i = 1, . . . , k. On évite ainsi d’avoir à transférer
tous les coefficients de A. On mettra en oeuvre cette technique dans
l’Exemple 6.9.
6.2 Méthode de la puissance
Comme on l’a vu dans les Problèmes 6.2 et 6.3, la connaissance du spectre
de A (c’est-à-dire de l’ensemble de toutes ses valeurs propres) n’est pas
toujours nécessaire. Souvent, seules importent les valeurs propres extrémales, c’est-à-dire celles ayant les plus grands et plus petits modules.
6 Valeurs propres et vecteurs propres
(9)
(8)
(7)
(5)
(4)
(1)
(3)
(2)
(10)
(11)
(6)
1 Milan
2 Pavie
3 Lodi
4 Brescia
5 Bergame
6 Côme
7 Varèse
8 Lecco
9 Sondrio
10 Crémone
11 Mantoue
Figure 6.2. Représentation schématique du réseau ferroviaire entre les principales villes de Lombardie
singulières d’une matrice définie en (5.41). En effet, une image en noir et
blanc peut être représentée par une matrice réelle A rectangulaire m×n,
où m et n sont respectivement le nombre de pixels dans les directions
horizontale et verticale, et les coefficients a ij représentent le niveau de
gris du pixel (i, j). En effectuant la décomposition en valeurs singulières
(5.41) de A, et en notant u i et v i les i-ème vecteurs colonnes de U et V
respectivement, on trouve
A = σ 1 u 1 v
T
1 + σ 2 u 2 v
T
2 + . . . + σ p u p v
T
p .
(6.4)
On peut approcher A par la matrice A k obtenue en tronquant la somme
(6.4) aux k premiers termes, pour 1 ≤ k ≤ p. Si les valeurs singulières
σ i sont rangées en ordre décroissant, σ 1 ≥ σ 2 ≥ . . . ≥ σ p , négliger
les p − k dernières ne devrait pas affecter significativement la qualité
de l’image. Pour transférer l’image “compressée” A k (par exemple d’un
ordinateur à un autre), il suffit de transférer les vecteurs u i , v i et les
valeurs singulières σ i pour i = 1, . . . , k. On évite ainsi d’avoir à transférer
tous les coefficients de A. On mettra en oeuvre cette technique dans
l’Exemple 6.9.
6.2 Méthode de la puissance
Comme on l’a vu dans les Problèmes 6.2 et 6.3, la connaissance du spectre
de A (c’est-à-dire de l’ensemble de toutes ses valeurs propres) n’est pas
toujours nécessaire. Souvent, seules importent les valeurs propres extrémales, c’est-à-dire celles ayant les plus grands et plus petits modules.