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6 Valeurs propres et vecteurs propres
x
x1(t)
x2(t)
P1
P2
Figure 6.1. Le système de deux corps ponctuels de même masse, reliés par
des ressorts
valeurs propres sont en fait mieux adaptés. L’un d’eux est décrit dans la
section suivante.
6.1 Quelques problèmes types
Problème 6.1 (Ressorts élastiques) Considérons le système de la
Figure 6.1 constitué de deux corps ponctuels P 1 et P 2 de masse m, reliés
par deux ressorts et libres de se déplacer le long d’une ligne joignant P 1
et P 2 . Soit x i (t) la position de P i au temps t, pour i = 1, 2. La relation
fondamentale de la dynamique donne
m
..
x 1 = K(x 2 − x 1 ) − Kx 1 ,
m
..
x 2 = K(x 1 − x 2 ),
où K est le coefficient de raideur des deux ressorts. On s’intéresse aux
oscillations libres x i = a i sin(ωt + φ), i = 1, 2, avec a i = 0. On trouve
dans ce cas
−ma 1 ω
2 = K(a 2 − a 1 ) − Ka 1 ,
−ma 2 ω
2 = K(a 1 − a 2 ). (6.3)
C’est un système 2 × 2 homogène qui a une solution non triviale a =
(a 1 , a 2 )
T ssi le nombre λ = mω
2 /K est une valeur propre de la matrice
A =
2 −1
−1 1
.
Avec cette définition de λ, (6.3) devient Aa = λa. Comme p A (λ) =
(2 − λ)(1 − λ) − 1, les deux valeurs propres sont λ 1 2.618 et λ 2 0.382
et correspondent aux fréquences de vibrations propres ω i =
Kλ i /m
du système.
Problème 6.2 (Dynamique des populations) Divers modèles mathématiques ont été proposés pour prédire l’évolution de certaines espèces (humaines ou animales). Le modèle le plus simple, introduit par
6 Valeurs propres et vecteurs propres
x
x1(t)
x2(t)
P1
P2
Figure 6.1. Le système de deux corps ponctuels de même masse, reliés par
des ressorts
valeurs propres sont en fait mieux adaptés. L’un d’eux est décrit dans la
section suivante.
6.1 Quelques problèmes types
Problème 6.1 (Ressorts élastiques) Considérons le système de la
Figure 6.1 constitué de deux corps ponctuels P 1 et P 2 de masse m, reliés
par deux ressorts et libres de se déplacer le long d’une ligne joignant P 1
et P 2 . Soit x i (t) la position de P i au temps t, pour i = 1, 2. La relation
fondamentale de la dynamique donne
m
..
x 1 = K(x 2 − x 1 ) − Kx 1 ,
m
..
x 2 = K(x 1 − x 2 ),
où K est le coefficient de raideur des deux ressorts. On s’intéresse aux
oscillations libres x i = a i sin(ωt + φ), i = 1, 2, avec a i = 0. On trouve
dans ce cas
−ma 1 ω
2 = K(a 2 − a 1 ) − Ka 1 ,
−ma 2 ω
2 = K(a 1 − a 2 ). (6.3)
C’est un système 2 × 2 homogène qui a une solution non triviale a =
(a 1 , a 2 )
T ssi le nombre λ = mω
2 /K est une valeur propre de la matrice
A =
2 −1
−1 1
.
Avec cette définition de λ, (6.3) devient Aa = λa. Comme p A (λ) =
(2 − λ)(1 − λ) − 1, les deux valeurs propres sont λ 1 2.618 et λ 2 0.382
et correspondent aux fréquences de vibrations propres ω i =
Kλ i /m
du système.
Problème 6.2 (Dynamique des populations) Divers modèles mathématiques ont été proposés pour prédire l’évolution de certaines espèces (humaines ou animales). Le modèle le plus simple, introduit par