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Valeurs propres et vecteurs propres
Etant donné une matrice carrée A ∈ C
n×n , le problème de valeurs
propres consiste à trouver un scalaire λ (réel ou complexe) et un vecteur
non nul x tel que
Ax = λx
(6.1)
Un tel λ est appelé valeur propre de A, et x est appelé vecteur propre
associé. Ce dernier n’est pas unique ; en effet tous les vecteurs αx avec
α = 0, réel ou complexe, sont aussi des vecteurs propres associés à λ.
Si x est connu, on peut trouver λ en utilisant le quotient de Rayleigh
x
H Ax/x
2 , où x
H = ¯
x
T est le vecteur dont la i-ème composante est
égale à ¯
x i .
Un nombre λ est une valeur propre de A s’il est racine du polynôme
suivant de degré n (appelé polynôme caractéristique de A)
p A (λ) = det(A − λI).
Ainsi, une matrice carrée d’ordre n a exactement n valeurs propres
(réelles ou complexes), non nécessairement distinctes. Si les coefficients
de A sont réels, il en est de même de ceux de p A (λ). Par conséquent dans
ce cas, si une valeur propre est complexe, le complexe conjugué est aussi
valeur propre.
Rappelons qu’une matrice A∈ C
n×n est dite diagonalisable s’il existe
une matrice inversible U∈ C
n×n telle que
U
−1 AU = Λ = diag(λ 1 , . . ., λ n ).
(6.2)
Les colonnes de U sont les vecteurs propres de A et forment une base de
C
n .
Dans le cas particulier où A est diagonale ou triangulaire, ses valeurs
propres sont simplement ses coefficients diagonaux. Mais quand A est
une matrice quelconque d’ordre n, assez grand, il n’est en général pas
facile de déterminer les zéros de p A (λ). Les algorithmes de recherche des
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010
Valeurs propres et vecteurs propres
Etant donné une matrice carrée A ∈ C
n×n , le problème de valeurs
propres consiste à trouver un scalaire λ (réel ou complexe) et un vecteur
non nul x tel que
Ax = λx
(6.1)
Un tel λ est appelé valeur propre de A, et x est appelé vecteur propre
associé. Ce dernier n’est pas unique ; en effet tous les vecteurs αx avec
α = 0, réel ou complexe, sont aussi des vecteurs propres associés à λ.
Si x est connu, on peut trouver λ en utilisant le quotient de Rayleigh
x
H Ax/x
2 , où x
H = ¯
x
T est le vecteur dont la i-ème composante est
égale à ¯
x i .
Un nombre λ est une valeur propre de A s’il est racine du polynôme
suivant de degré n (appelé polynôme caractéristique de A)
p A (λ) = det(A − λI).
Ainsi, une matrice carrée d’ordre n a exactement n valeurs propres
(réelles ou complexes), non nécessairement distinctes. Si les coefficients
de A sont réels, il en est de même de ceux de p A (λ). Par conséquent dans
ce cas, si une valeur propre est complexe, le complexe conjugué est aussi
valeur propre.
Rappelons qu’une matrice A∈ C
n×n est dite diagonalisable s’il existe
une matrice inversible U∈ C
n×n telle que
U
−1 AU = Λ = diag(λ 1 , . . ., λ n ).
(6.2)
Les colonnes de U sont les vecteurs propres de A et forment une base de
C
n .
Dans le cas particulier où A est diagonale ou triangulaire, ses valeurs
propres sont simplement ses coefficients diagonaux. Mais quand A est
une matrice quelconque d’ordre n, assez grand, il n’est en général pas
facile de déterminer les zéros de p A (λ). Les algorithmes de recherche des
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010