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5 Systèmes linéaires
Exercice 5.11 Analyser la convergence des méthodes de Jacobi et GaussSeidel pour la résolution d’un système linéaire associé à la matrice
A =
⎡
⎣
α 0 1
0 α 0
1 0 α
⎤
⎦ ,
α∈ R.
Exercice 5.12 Donner une condition suffisante sur β pour que les méthodes
de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent toutes les deux quand on les applique
à un système associé à la matrice
A =
−10 2
β 5
.
(5.67)
Exercice 5.13 On considère la méthode de relaxation pour la résolution du
système linéaire Ax = b avec A ∈ R
n×n : étant donné x
(0) = (x
(0)
1 , . . . , x
(0)
n )
T ,
pour k = 0, 1, . . . calculer
r
(k)
i
= bi −
i−1
j=1
aij x
(k+1)
j
−
n
j=i+1
aij x
(k)
j , x
(k+1)
i
= (1 − ω)x
(k)
i
+ ω
r
(k)
i
aii
,
pour i = 1, . . . , n, où ω est un paramètre réel. Expliciter la matrice d’itération
correspondante et vérifier que la condition 0 < ω < 2 est nécessaire pour
la convergence. Remarquer que si ω = 1, on retrouve l’algorithme de GaussSeidel. Si 1 < ω < 2, cette méthode est connue sous le nom de SOR (pour
successive over-relaxation).
Exercice 5.14 On considère un système linéaire Ax = b avec A =
3 2
2 6
.
Dire si la méthode de Gauss-Seidel converge, sans calculer explicitement le
rayon spectral de la matrice d’itération. Recommencer avec A =
1 1
1 2
.
Exercice 5.15 Calculer la première itération des méthodes de Jacobi, GaussSeidel et du gradient préconditionné (où le préconditionneur est la diagonale
de A) pour le système (5.59) avec x
(0) = (1, 1/2)
T .
Exercice 5.16 Montrer (5.54), puis
ρ(Bα opt ) =
λmax − λmin
λmax + λmin
=
K(P
−1 A) − 1
K(P −1 A) + 1
.
(5.68)
Exercice 5.17 Remarquer qu’en utilisant un paramètre d’accélération α au
lieu de αk, on a, d’après (5.58), x
(k+1) = x
(k) + αz
(k) . Donc l’erreur e
(k+1) =
x − x
(k+1) dépend de α. Montrer que l’expression de αk donnée par (5.56)
minimise la fonction Φ(α) = e
(k+1)
2
A par rapport à α ∈ R.