5.15 Exercices
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identiques. Calculer alors leur déterminant à l’aide de la commande det vue à
la Section 1.4 et évaluer le temps de calcul avec la commande cputime. Enfin,
approcher ces données par la méthode des moindres carrés et en déduire que
le temps de calcul croît approximativement comme n
3 .
Exercice 5.3 Déterminer pour quelles valeurs de ε la matrice définie en (5.15)
ne satisfait pas les hypothèses de la Proposition 5.1. Pour quelle valeur de ε
cette matrice est singulière ? Est-il possible de calculer la factorisation LU dans
ce cas ?
Exercice 5.4 Vérifier que le nombre d’opérations nécessaire au calcul de la
factorisation LU d’une matrice carrée A d’ordre n est environ 2n
3 /3.
Exercice 5.5 Montrer que la factorisation LU de A peut être utilisée pour
calculer la matrice inverse A
−1 . (On remarquera que la j-ème colonne xj de
A
−1 vérifie le système linéaire Axj = ej, ej étant le vecteur dont les composantes sont toutes nulles exceptée la j-ème qui vaut 1.)
Exercice 5.6 Calculer les facteurs L et U de la matrice de l’Exemple 5.8 et
vérifier que la factorisation LU est imprécise.
Exercice 5.7 Expliquer pourquoi la stratégie de pivot partiel par ligne n’est
pas adaptée aux matrices symétriques.
Exercice 5.8 On considère le système linéaire Ax = b avec
A =
⎡
⎣
2 −2 0
ε − 2 2 0
0 −1 3
⎤
⎦ ,
b tel que la solution vaut x = (1, 1, 1)
T et ε un nombre réel positif. Calculer
la factorisation de Gauss de A et remarquer que l32 → ∞ quand ε → 0.
Vérifier que la solution calculée n’est pas affectée par des erreurs d’arrondi
quand ε = 10
−k avec k = 0, .., 9 et b = (0, ε, 2)
T . Analyser l’erreur relative
pour ε = 1/3 · 10
−k avec k = 0, .., 9 quand la solution exacte est donnée par
xex = (log(5/2), 1, 1)
T .
Exercice 5.9 On considère les systèmes linéaires Aixi = bi, i = 1, 2, 3, avec
A1 =
⎡
⎢
⎢
⎣
15 6 8 11
6 6 5 3
8 5 7 6
11 3 6 9
⎤
⎥
⎥
⎦ , Ai = (A1)
i , i = 2, 3,
et bi tel que la solution est toujours xi = (1, 1, 1, 1)
T . Résoudre le système
avec la factorisation de Gauss en utilisant une méthode de pivot partiel par
ligne. Commenter les résultats obtenus.
Exercice 5.10 Montrer que pour une matrice symétrique définie positive A,
on a K(A
2 ) = (K(A))
2 .
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identiques. Calculer alors leur déterminant à l’aide de la commande det vue à
la Section 1.4 et évaluer le temps de calcul avec la commande cputime. Enfin,
approcher ces données par la méthode des moindres carrés et en déduire que
le temps de calcul croît approximativement comme n
3 .
Exercice 5.3 Déterminer pour quelles valeurs de ε la matrice définie en (5.15)
ne satisfait pas les hypothèses de la Proposition 5.1. Pour quelle valeur de ε
cette matrice est singulière ? Est-il possible de calculer la factorisation LU dans
ce cas ?
Exercice 5.4 Vérifier que le nombre d’opérations nécessaire au calcul de la
factorisation LU d’une matrice carrée A d’ordre n est environ 2n
3 /3.
Exercice 5.5 Montrer que la factorisation LU de A peut être utilisée pour
calculer la matrice inverse A
−1 . (On remarquera que la j-ème colonne xj de
A
−1 vérifie le système linéaire Axj = ej, ej étant le vecteur dont les composantes sont toutes nulles exceptée la j-ème qui vaut 1.)
Exercice 5.6 Calculer les facteurs L et U de la matrice de l’Exemple 5.8 et
vérifier que la factorisation LU est imprécise.
Exercice 5.7 Expliquer pourquoi la stratégie de pivot partiel par ligne n’est
pas adaptée aux matrices symétriques.
Exercice 5.8 On considère le système linéaire Ax = b avec
A =
⎡
⎣
2 −2 0
ε − 2 2 0
0 −1 3
⎤
⎦ ,
b tel que la solution vaut x = (1, 1, 1)
T et ε un nombre réel positif. Calculer
la factorisation de Gauss de A et remarquer que l32 → ∞ quand ε → 0.
Vérifier que la solution calculée n’est pas affectée par des erreurs d’arrondi
quand ε = 10
−k avec k = 0, .., 9 et b = (0, ε, 2)
T . Analyser l’erreur relative
pour ε = 1/3 · 10
−k avec k = 0, .., 9 quand la solution exacte est donnée par
xex = (log(5/2), 1, 1)
T .
Exercice 5.9 On considère les systèmes linéaires Aixi = bi, i = 1, 2, 3, avec
A1 =
⎡
⎢
⎢
⎣
15 6 8 11
6 6 5 3
8 5 7 6
11 3 6 9
⎤
⎥
⎥
⎦ , Ai = (A1)
i , i = 2, 3,
et bi tel que la solution est toujours xi = (1, 1, 1, 1)
T . Résoudre le système
avec la factorisation de Gauss en utilisant une méthode de pivot partiel par
ligne. Commenter les résultats obtenus.
Exercice 5.10 Montrer que pour une matrice symétrique définie positive A,
on a K(A
2 ) = (K(A))
2 .