5.3 Factorisation LU
145
|a ii | ≥
n
j=1
j =i
|a ji |, i = 1, . . ., n.
Quand on peut remplacer ≥ par > dans les inégalités précédentes, la
matrice A est dite à diagonale strictement dominante (par ligne ou
par colonne). Cette définition est aussi valable pour A∈ C
n×n (voir
[GI04]) ;
2. les matrices réelles symétriques définies positives. Une matrice symétrique A ∈ R
n×n est définie positive si
∀x ∈ R
n avec x = 0,
x
T Ax > 0;
3. les matrices complexes définies positives. Une matrice A ∈ C
n×n est
définie positive si
∀x ∈ C
n avec x = 0,
x
H Ax > 0;
noter que ces matrices sont nécessairement hermitiennes (voir [Zha99,
Section 3.2]).
Si A∈ R
n×n est symétrique définie positive, on peut construire une
factorisation particulière
A = R
T R
(5.16)
où R est une matrice triangulaire supérieure avec des éléments diagonaux positifs. Cette décomposition s’appelle factorisation de Cholesky
et nécessite environ n
3 /3 opérations (la moitié du nombre d’opérations
de la factorisation LU de Gauss). De plus, grâce à la symétrie, on ne
stocke que la partie supérieure de A et on peut ranger les coefficients de
R au même endroit.
On peut calculer les coefficients de R avec l’algorithme suivant : on
pose r 11 =
√ a 11 et, pour i = 2, . . . , n, on définit
r ji =
1
r jj
a ij −
j−1
k=1
r ki r kj
, j = 1, . . ., i − 1
r ii =
a ii −
i−1
k=1
r
2
ki
(5.17)
On peut effectuer la factorisation de Cholesky dans MATLAB avec
la commande R=chol(A). Pour une matrice complexe définie positive A∈ chol
C
n×n , la formule (5.16) devient A=R
H R, où R
H est la transconjuguée
de R.