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5 Systèmes linéaires
Le résultat est p = (8.1172, 5.9893, 5.9893, 5.7779)
T .
Exemple 5.6 Supposons qu’on résolve Ax = b avec
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 − ε 3
2 2 2
3 6 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, b =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
5 − ε
6
13
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, ε ∈ R,
(5.15)
dont la solution est x = (1, 1, 1)
T (indépendamment de la valeur de ε).
Posons ε = 1. La factorisation de Gauss de A obtenue avec le Programme
5.1 conduit à
L =
⎡
⎣
1 0 0
2 1 0
3 3 1
⎤
⎦ , U =
⎡
⎣
1 0 3
0 2 −4
0 0 7
⎤
⎦ .
Si on pose ε = 0, on ne peut pas effectuer la factorisation de Gauss – bien
que A ne soit pas singulière – car l’algorithme (5.13) entraînerait une division
par 0.
L’exemple précédent montre que la factorisation de Gauss, A=LU,
n’existe malheureusement pas pour toute matrice régulière A. On peut
en revanche établir le résultat suivant
Proposition 5.1 Pour une matrice quelconque A ∈ R
n×n , la factorisation de Gauss existe et est unique ssi les sous-matrices principales A i de A d’ordre i = 1, . . . , n − 1 (celles que l’on obtient
en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas
singulières (autrement dit si les mineurs principaux, i.e. les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls). Ce résultat
est aussi valable pour A ∈ C
n×n [Zha99, Section 3.2].
En revenant à l’Exemple 5.6, on remarque que quand ε = 0 la seconde
sous-matrice principale A 2 de A est singulière.
On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles
les hypothèses de la Proposition 5.1 sont satisfaites. Mentionnons par
exemple :
1. les matrices à diagonale strictement dominante.
Une matrice est dite à diagonale dominante par ligne si
|a ii | ≥
n
j=1
j =i
|a ij |, i = 1, . . ., n,
par colonne si
5 Systèmes linéaires
Le résultat est p = (8.1172, 5.9893, 5.9893, 5.7779)
T .
Exemple 5.6 Supposons qu’on résolve Ax = b avec
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 1 − ε 3
2 2 2
3 6 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, b =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
5 − ε
6
13
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
, ε ∈ R,
(5.15)
dont la solution est x = (1, 1, 1)
T (indépendamment de la valeur de ε).
Posons ε = 1. La factorisation de Gauss de A obtenue avec le Programme
5.1 conduit à
L =
⎡
⎣
1 0 0
2 1 0
3 3 1
⎤
⎦ , U =
⎡
⎣
1 0 3
0 2 −4
0 0 7
⎤
⎦ .
Si on pose ε = 0, on ne peut pas effectuer la factorisation de Gauss – bien
que A ne soit pas singulière – car l’algorithme (5.13) entraînerait une division
par 0.
L’exemple précédent montre que la factorisation de Gauss, A=LU,
n’existe malheureusement pas pour toute matrice régulière A. On peut
en revanche établir le résultat suivant
Proposition 5.1 Pour une matrice quelconque A ∈ R
n×n , la factorisation de Gauss existe et est unique ssi les sous-matrices principales A i de A d’ordre i = 1, . . . , n − 1 (celles que l’on obtient
en restreignant A à ses i premières lignes et colonnes) ne sont pas
singulières (autrement dit si les mineurs principaux, i.e. les déterminants des sous-matrices principales, sont non nuls). Ce résultat
est aussi valable pour A ∈ C
n×n [Zha99, Section 3.2].
En revenant à l’Exemple 5.6, on remarque que quand ε = 0 la seconde
sous-matrice principale A 2 de A est singulière.
On peut identifier des classes de matrices particulières pour lesquelles
les hypothèses de la Proposition 5.1 sont satisfaites. Mentionnons par
exemple :
1. les matrices à diagonale strictement dominante.
Une matrice est dite à diagonale dominante par ligne si
|a ii | ≥
n
j=1
j =i
|a ij |, i = 1, . . ., n,
par colonne si