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5 Systèmes linéaires
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nz = 379
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120
nz = 4222
Figure 5.6. Structure des matrices A et R de l’Exemple 5.7
Exemple 5.7 (Réseaux de capillaires) La matrice A du Problème 5.4 est
symétrique définie positive. Le système associé peut être résolu par factorisation de Cholesky et sa solution est donnée par
p = [12.46, 3.07, 3.07, .73, .73, .73, .15, .15, .15, .15, .15, .15, .15, .15, .15]
T .
En appliquant la relation (5.5), on trouve alors les débits suivants
Q1
= 1.88
Q2,3
= 0.94
Q4,···,7 = 0.47
Q8,···,15 = 0.23
Q16,···,31 = 0.12.
La matrice A a une structure bande particulière. Considérons la Figure 5.6 qui
correspond au cas d’un lit capillaire avec 8 niveaux de bifurcation. Les points
représentent les termes non nuls de A. Sur chaque ligne, il y a au plus 3 termes
non nuls ; ainsi dans toute la matrice, seuls 379 des (127)
2 = 16129 termes
sont non nuls. La factorisation de Cholesky induit un remplissage à l’intérieur
des bandes, comme le montre la Figure 5.6 (à droite), où est représentée la
structure creuse de la matrice triangulaire supérieure R de la factorisation de
Cholesky. Il est possible de limiter le remplissage en utilisant un algorithme de
renumérotation de la matrice. Sur la Figure 5.7, on a représenté à gauche une
renumérotation de la matrice A (dont la forme originale est représentée sur la
Figure 5.6 à gauche) et à droite la matrice de Cholesky R. Nous renvoyons le
lecteur intéressé par ces techniques de renumérotation à [QSS07, Section 3.9].
Voir Exercices 5.1–5.5.
5 Systèmes linéaires
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nz = 4222
Figure 5.6. Structure des matrices A et R de l’Exemple 5.7
Exemple 5.7 (Réseaux de capillaires) La matrice A du Problème 5.4 est
symétrique définie positive. Le système associé peut être résolu par factorisation de Cholesky et sa solution est donnée par
p = [12.46, 3.07, 3.07, .73, .73, .73, .15, .15, .15, .15, .15, .15, .15, .15, .15]
T .
En appliquant la relation (5.5), on trouve alors les débits suivants
Q1
= 1.88
Q2,3
= 0.94
Q4,···,7 = 0.47
Q8,···,15 = 0.23
Q16,···,31 = 0.12.
La matrice A a une structure bande particulière. Considérons la Figure 5.6 qui
correspond au cas d’un lit capillaire avec 8 niveaux de bifurcation. Les points
représentent les termes non nuls de A. Sur chaque ligne, il y a au plus 3 termes
non nuls ; ainsi dans toute la matrice, seuls 379 des (127)
2 = 16129 termes
sont non nuls. La factorisation de Cholesky induit un remplissage à l’intérieur
des bandes, comme le montre la Figure 5.6 (à droite), où est représentée la
structure creuse de la matrice triangulaire supérieure R de la factorisation de
Cholesky. Il est possible de limiter le remplissage en utilisant un algorithme de
renumérotation de la matrice. Sur la Figure 5.7, on a représenté à gauche une
renumérotation de la matrice A (dont la forme originale est représentée sur la
Figure 5.6 à gauche) et à droite la matrice de Cholesky R. Nous renvoyons le
lecteur intéressé par ces techniques de renumérotation à [QSS07, Section 3.9].
Voir Exercices 5.1–5.5.