134
5 Systèmes linéaires
c11
c12
c22
c31
c33
b1
b2
b3
1
2
3
Figure 5.2. Schéma d’interaction entre 3 usines et le marché
Problème 5.4 (Réseaux de capillaires) Les capillaires sont les vaisseaux sanguins les plus petits du système circulatoire. Ils forment des
réseaux, appelés “lits capillaires”, qui regroupent d’une dizaine à une
centaine de vaisseaux, selon le type d’organe ou de tissu biologique. Le
sang chargé d’oxygène atteint les lits capillaires à partir des artérioles.
Depuis les capillaires, il distribue l’oxygène aux tissus environnants à
travers la membrane des globules rouges. Dans le même temps, des déchets métaboliques sont éliminés des tissus vers les lits capillaires. Le
sang rejoint alors des veinules, puis le coeur, et de là, les poumons. Un
lit capillaire peut être décrit par un réseau, similaire au réseau hydraulique du Problème 5.1 ; dans ce modèle, chaque capillaire est assimilé
à un pipeline dont les extrémités sont appelées noeuds. Sur le schéma
de la Figure 5.4, les noeuds sont représentés par des petits cercles vides.
D’un point de vue fonctionnel, on peut voir les artérioles alimentant le lit
capillaire comme un réservoir ayant une pression uniforme d’environ 50
mmHg (on rappelle que la pression atmosphérique est de l’ordre de 760
mmHg). Dans notre modèle, nous supposerons qu’aux noeuds de sortie
(ceux indiqués par de petits cercles noirs sur la Figure 5.4) la pression a
une valeur constante – la pression veineuse – que l’on peut choisir égale
à zéro. Le sang s’écoule des artérioles aux noeuds de sortie grâce à la différence de pression entre un noeud et les suivants (ceux qui se trouvent
à un niveau hiérarchique inférieur).
En se reportant à nouveau à la Figure 5.4, notons p j , j = 1, ..., 15
la pression (exprimée en mmHg) au j-ème noeud et Q m , m = 1, ..., 31
le débit (exprimé en mm
3 /s) dans le m-ème capillaire. Si i et j sont les
indices des extrémités d’un capillaire m arbitraire, on suppose qu’on a
la loi de comportement suivante
Q m =
1
R m L m
(p i − p j ),
(5.5)
5 Systèmes linéaires
c11
c12
c22
c31
c33
b1
b2
b3
1
2
3
Figure 5.2. Schéma d’interaction entre 3 usines et le marché
Problème 5.4 (Réseaux de capillaires) Les capillaires sont les vaisseaux sanguins les plus petits du système circulatoire. Ils forment des
réseaux, appelés “lits capillaires”, qui regroupent d’une dizaine à une
centaine de vaisseaux, selon le type d’organe ou de tissu biologique. Le
sang chargé d’oxygène atteint les lits capillaires à partir des artérioles.
Depuis les capillaires, il distribue l’oxygène aux tissus environnants à
travers la membrane des globules rouges. Dans le même temps, des déchets métaboliques sont éliminés des tissus vers les lits capillaires. Le
sang rejoint alors des veinules, puis le coeur, et de là, les poumons. Un
lit capillaire peut être décrit par un réseau, similaire au réseau hydraulique du Problème 5.1 ; dans ce modèle, chaque capillaire est assimilé
à un pipeline dont les extrémités sont appelées noeuds. Sur le schéma
de la Figure 5.4, les noeuds sont représentés par des petits cercles vides.
D’un point de vue fonctionnel, on peut voir les artérioles alimentant le lit
capillaire comme un réservoir ayant une pression uniforme d’environ 50
mmHg (on rappelle que la pression atmosphérique est de l’ordre de 760
mmHg). Dans notre modèle, nous supposerons qu’aux noeuds de sortie
(ceux indiqués par de petits cercles noirs sur la Figure 5.4) la pression a
une valeur constante – la pression veineuse – que l’on peut choisir égale
à zéro. Le sang s’écoule des artérioles aux noeuds de sortie grâce à la différence de pression entre un noeud et les suivants (ceux qui se trouvent
à un niveau hiérarchique inférieur).
En se reportant à nouveau à la Figure 5.4, notons p j , j = 1, ..., 15
la pression (exprimée en mmHg) au j-ème noeud et Q m , m = 1, ..., 31
le débit (exprimé en mm
3 /s) dans le m-ème capillaire. Si i et j sont les
indices des extrémités d’un capillaire m arbitraire, on suppose qu’on a
la loi de comportement suivante
Q m =
1
R m L m
(p i − p j ),
(5.5)